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课时跟踪检测(六) 函数的单调性与最值
一、题点全面练
1．下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是( )
A．y＝ B．y＝cos x
C．y＝ln(x＋1) D．y＝2－x
解析：选D 函数y＝2－x＝x在(－1,1)上为减函数．
2．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
解析：选D 由x2－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．
3．若函数f(x)＝x2－2x＋m在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m的值为( )
A．－3 B．－2
C．－1 D．1
解析：选B 因为f(x)＝(x－1)2＋m－1在[3，＋∞)上为增函数，且f(x)在[3，＋∞)上的最小值为1，所以f(3)＝1，
即22＋m－1＝1，m＝－2.故选B.
4．函数f(x)＝的单调递增区间是( )
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1)，(1，＋∞) D．(－∞，－1)，(1，＋∞)
解析：选C 因为f(x)＝＝－1＋，
所以f(x)的图象是由y＝－的图象沿x轴向右平移1个单位，然后沿y轴向下平移一个单位得到，而y＝－的单调递增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)；
所以f(x)的单调递增区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．故选C.
5．(2019·赣州模拟)设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，0] B．[0,1)
C．[1，＋∞) D．[－1,0]
解析：选B 由题知，g(x)＝可得函数g(x)的单调递减区间为[0,1)．
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6．若函数f(x)＝x2＋a|x|＋2，x∈R在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a的取值范围是( )
A. B．[－6，－4]
C. D.
解析：选B 由于f(x)为R上的偶函数，因此只需考虑函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性即可．由题意知函数f(x)在[3，＋∞)上为增函数，在[1,2]上为减函数，故－∈[2,3]，即a∈[－6，－4]．
7．函数y＝，x∈(m，n]的最小值为0，则m的取值范围是( )
A．(1,2) B．(－1,2)
C．[1,2) D．[－1,2)
解析：选D 函数y＝＝＝－1，
且在x∈(－1，＋∞)时单调递减，在x＝2时，y＝0；
根据题意x∈(m，n]时y的最小值为0，
所以－1≤m0，且a≠1.
又函数f(x)在R上单调，则二次函数y＝ax2－x－的图象开口向上，
所以函数f(x)在R上单调递减，
故有即
所以a∈.
3．已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)>f(a＋3)，则实数a
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的取值范围为________．
解析：由已知可得解得－3f(－m)－f(－n)成立，那么下列不等式成立的是( )
A．m－n0
C．m＋n0
解析：选A 设F(x)＝f(x)－f(－x)，
由于f(x)是R上的减函数，
∴f(－x)是R上的增函数，－f(－x)是R上的减函数，
∴F(x)是R上的减函数，
∴当mF(n)，
即f(m)－f(－m)>f(n)－f(－n)成立．
因此，当f(m)－f(n)>f(－m)－f(－n)成立时，不等式m－n0，x>0)．
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f(x)在，2上的值域是，2，求a的值．
解：(1)证明：设x2>x1>0，则x2－x1>0，x1x2>0，
因为f(x2)－f(x1)＝－
＝－＝>0，所以f(x2)>f(x1)，
所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(2)因为f(x)在，2上的值域是，2，
又由(1)得f(x)在，2上是单调增函数，
所以f＝，f(2)＝2，
解得a＝.
8．[数学运算]已知函数f(x)＝lg，其中a是大于0的常数．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)当a∈(1,4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；
(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．
解：(1)由x＋－2>0，
得>0，
当a>1时，x2－2x＋a>0恒成立，定义域为(0，＋∞)；
当a＝1时，定义域为{x|x>0且x≠1}；
当01对任意x∈[2，＋∞)恒成立．
所以a>3x－x2，令h(x)＝3x－x2，
而h(x)＝3x－x2＝－2＋在[2，＋∞)上是减函数，所以h(x)max＝h(2)＝2，所以a>2.
即a的取值范围为(2，＋∞)．
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