第二十一章 一元二次方程检测题
（本检测题满分：100分，时间：90分钟）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列关于的方程中：①；②；③；
④（）；⑤=-1．一元二次方程的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2. 方程(x-2)(x+3)=0的解是（ ）
A.x=2 B.x=-3
C.x1=-2,x2=3 D.x1=2,x2=-3
3．要使方程+是关于的一元二次方程，则（ ）
A． B．
C．且 D．且
4．（2014 •苏州中考）下列关于x的方程有实数根的是（ ）
A．x2－x＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0
C．(x－1)(x＋2)＝0 D．(x－1)2＋1＝0
5．已知实数a,b分别满足a2-6a+4=0,b2-6b+4=0,且a≠b,则的值是（ ）
A.7 B.-7
C.11 D.-11
6．从一块正方形的木板上锯掉2 m宽的长方形木条，剩下的面积是48 m2，则原来这块木板的面积是（ ）
A．100 m2 B．64 m2
C．121 m2 D．144 m2
7．利华机械厂四月份生产零件万个，若五、六月份平均每月的增长率是，则第二季度共生产零件（ ）
A．100万个 B．160万个
C．180万个 D．182万个
8. 目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系.某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元.设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（ ）
A.438=389 B.389=438
C.389(1+2x)=438 D.438(1+2x)=389
9.关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
10．已知分别是三角形的三边长，则方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．可能有且只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．若是关于的一元二次方程，则不等式的解集是________．
12．已知关于的方程的一个根是，则_______．
13．若|b－1|+=0，且一元二次方程k+ax+b=0（k≠0）有实数根，则k的取值范围是 .
14．若（是关于的一元二次方程，则的值是________．
15．若且，则一元二次方程必有一个定根，它是_______．
16.若矩形的长是，宽是，一个正方形的面积等于该矩形的面积，则正方形的边长是_______．
17．若两个连续偶数的积是224，则这两个数的和是__________．
18．若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程 .
三、解答题（共46分）
19.（6分）在实数范围内定义运算“”，其法则为：，求方程（43） 的解．
20.（6分）求证：关于的方程有两个不相等的实数根．
第21题图
21．（6分）在长为，宽为的矩形的四个角上分别截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，求所截去小正方形的边长.
22．（6分）若方程的两根是和， 方程的正根是，试判断以为边长的三角形是否存 在．若存在，求出它的面积；若不存在，说明理由．
23.（6分）已知关于的方程（ 的两根之和为，两根之差为1，其中是△的三边长．
（1）求方程的根；
（2）试判断△的形状．
24．（8分）（2014•南京中考）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为.
（1）用含的代数式表示第3年的可变成本为__________万元；
（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率.
25．（8分）李先生乘出租车去某公司办事，下车时，打出的电子收费单为“里程千米，应收元”．该城市的出租车收费标准按下表计算，请求出起步价是多少元．
里程（千米）
价格（元）
第二十一章 一元二次方程检测题参考答案
1．B 解析：方程①是否为一元二次方程与的取值有关；
方程②经过整理后可得，是一元二次方程；
方程③是分式方程；
方程④的二次项系数经过配方后可化为，不论取何值，其值都不为0，所以方程④是一元二次方程；
方程⑤不是整式方程，也可排除.
故一元二次方程仅有2个．
2．D 解析：由（x-2）(x+3)=0,得x-2=0或x+3=0,解得=2,=-3.
3．B 解析：由，得．
4． C 解析： 把A,B选项中a,b,c的对应值分别代入中，A,B选项中，故A,B选项中的方程都没有实数根.而选项D中，由得－1.因为，所以没有实数根，只有选项C中的方程有实数根.
5. A 解析：本题考查一元二次方程根与系数的关系.
可以把a和b看作是方程－6x+4=0的两个实数根，
∴ a+b=6,ab=4，∴ 7.
点拨：一元二次方程根与系数的关系常见的应用有：验根、确定根的符号；求与根相关的代数式的值；由根求出新方程等.
6.B 解析：设原来正方形木板的边长为x m．
由题意，可知x(x-2)=48，即x2-2x-48=0,
解得x1=8，x2=-6（不合题意，舍去）．
所以原来这块正方形木板的面积是8×8=64（m2）．
点拨：本题考查了一元二次方程的应用，理解从一块正方形木板上锯掉2 m宽的长方形木条，剩下的仍然是一个长方形，是解本题的关键．
7.D 解析：五月份生产零件（万个），
六月份生产零件 万个），
所以第二季度共生产零件（万个），故选D．
8. B 解析：由每半年发放的资助金额的平均增长率为x，
得去年下半年发放给每个经济困难学生389（1+x）元，
今年上半年发放给每个经济困难学生389（1+x）（1+x）=389（元），
根据关键语句“今年上半年发放了438元”，可得方程389=438.
点拨：关于增长率问题一般列方程a(1+x)n=b,其中a为基础数据，b为增长后的数据，n为增长次数，x为增长率.
9.A 解析：因为+
4＞0，所以方程有两个不相等的实数根.
10.A 解析：因为
又因为分别是三角形的三边长，
所以
所以所以方程没有实数根.
11． 解析：不可忘记．
12．± 解析：把代入方程，得，则，所以．
13．k≤4且k≠0 解析：因为|b-1|≥0,≥0,
又因为|b－1|+=0，所以|b-1|=0,=0,
即b－1=0，a－4=0，所以b=1,a=4.
所以一元二次方程k+ax+b=0变为k+4x+1=0.
因为一元二次方程k+4x+1=0有实数根，所以Δ=16－4k≥0，解得k≤4.
又因为k≠0，所以k≤4且k≠0.
14． 解析：由题意得解得或．
15．1 解析：由，得，
原方程可化为，
解得 ．
16． 解析：设正方形的边长为，
则，解得，
由于边长不能为负，故舍去，
故正方形的边长为．
17. 解析：设其中的一个偶数为，则．
解得
则当其中一个偶数为14时，另一个偶数为16；
当其中一个偶数为-16时，另一个偶数为-14．
故这两个数的和是．
18. x2－5x+6=0（答案不唯一） 解析：设Rt△ABC的两条直角边的长分别为a，b.因为 S△ABC=3，所以ab=6.又因为一元二次方程的两根为a，b(a＞0，b＞0),所以符合条件的一元二次方程为(x－2)(x－3)=0，(x－1)(x－6)=0等，即x2－5x+6=0或x2－7x+6=0等.
19.解：∵，
∴．
∴，∴，∴．
20.证明：∵ 恒成立，
∴ 方程有两个不相等的实数根．
21．解：设小正方形的边长为.
由题意得，
解得
所以截去的小正方形的边长为.
22．解：解方程，
得．
方程的两根是．
所以的值分别是．
因为，
所以以为边长的三角形不存在．
点拨：先解这两个方程，求出方程的根，再用三角形的三边关系来判断．
23．解：（1）设方程的两根为，
则
解得
（2）当时，，所以.
当时,
所以，所以，
所以△为等边三角形．
24．解：（1）.
（2）根据题意，得.
个方程，得x1=0.1，x2=-2.1（不合题意，舍去）．
可变成本平均每年增长的百分率是10%．
25．解：依题意，，
整理，得，
解得.
由于，所以舍去，
所以．
答：起步价是10元．
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