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一元二次方程 单元测试题
一 、选择题：
1.下列关于 x 的方程：①ax2+bx+c=0；②3(x-9)2-(x+1)2=1；③x+3= ；
④(a2+a+1)x2-a=0；⑤ =x-1，其中一元二次方程的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2.已知关于 x 的方程 x2＋m2x－2＝0 的一个根是 1，则 m 的值是（ ）
A．1 B．2 C．±1 D．±2
3.已知x=1 是二次方程(m2﹣1)x2﹣mx+m2=0 的一个根，那么m的值是（ ）
A.0.5 或﹣1 B.﹣0.5 C.0.5 或 1 D.0.5
4.若抛物线y=x2﹣x﹣1 与x轴的交点坐标为(m，0)，则代数式m2﹣m+2012 的值为（ ）
A.2012 B.2013 C.2014 D.2015
5.关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0 的常数项为 0，则m等于（ ）
A.1 B.2 C.1 或 2 D.0
6.用配方法解一元二次方程x2－6x－4=0，下列变形正确的是( )
A.(x-6)2=-4＋36 B.(x-6)2=4＋36 C.(x-3)2=-4＋9 D.(x-3)2=4＋9
7.关于x的一元二次方程k2x2-(2k+1)x+1=0 有两个不相等实数根,那么k的取值范围是（ ）
A. ＞ B. ＞ 且 C. ＜ D. 且
8.若关于 x 的一元二次方程 x2+(2k﹣1)x+k2﹣1=0 有实数根,则 k 取值范围是（ ）
A.k≥1.25 B.k＞1.25 C.k＜1.25 D.k≤1.25
9.某商品原价 800 元，连续两次降价 a％后售价为 578 元，下列所列方程正确的是（ ）A.800(1+a%)2=578
B.800(1－a%)2=578 C.800(1－2a%)=578 D.800(1－a2%)=578
10.如图，某小区有一块长为 18 米，宽为 6 米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之
和为 60 米 2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为 x 米，则可以列出关于 x 的方
程是（ ）
A.x2+9x﹣8=0 B.x2﹣9x﹣8=0 C.x2﹣9x+8=0 D.2x2﹣9x+8=0
11.若关于 x 的方程 kx2﹣(k+1)x+1=0 的根是整数,则满足条件的整数 k 的个数为（ ）
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个第 2 页 共 7 页
12.关于 的方程 的两个根互为相反数，则 k 值是（ ）
A.-1 B. C.2 D.-2
二 、填空题：
13.已知 1 是关于 x 的一元二次方程 x2-x+k=0 的一个根，那么 k=
14.一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0 的一个根为 0，则 a= ．
15.若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0 有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ．
16.已知一元二次方程 x2+7x﹣1=0 的两个实数根为α,β,则(α-1)(β-1)的值为 ．
17.去年 2 月“蒜你狠”风潮又一次来袭，某市蔬菜批发市场大蒜价格猛涨，原来单价 4 元/千克的大蒜，经过 2
月和 3 月连续两个月增长后，价格上升很快，物价部门紧急出台相关政策控制价格，4 月大蒜价格下降了 36%，
恰好与涨价前的价格相同，则 2 月，3 月的平均增长率为 ．
18.以下四个命题：
①对应角和面积都相等的两个三角形全等；
②“若 x2﹣x=0， 则 x=0”的逆命题；
③若关于 x、y 的方程组 有无数多组解，则 a=b=1；
④将多项式 5xy+3y﹣2x2y 因式分解，其结果为﹣y（2x+1）（x﹣3）．
其中正确的命题的序号为 ．
三 、解答题：
19.解方程：4x2-7x＋2=0.
20.解方程:x2-2x=2x＋1
21.解方程:(3-x)2+x2=5第 3 页 共 7 页
22.已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣3x+1﹣k=0 有两个不相等的实数根．
（1）求 k 的取值范围；
（2）若 k 为负整数，求此时方程的根．
23.已知关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+1=0（a≠0）有两个相等的实数根，求 的值．
24.某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件．市场调查反映：每降价 1 元，每星期可多卖出 20
件．已知商品的进价为每件 40 元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得 6080 元的利润，应将销售单价定位多
少元？第 4 页 共 7 页
25.某校在基地参加社会实践话动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙
足够长），另外三边用总长 69 米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为 3 米的出入口，如图所示，如
何设计才能使园地的面积最大？下面是两位学生争议的情境：
请根据上面的信息，解决问题：
（1）设 AB=x 米（x＞0），试用含 x 的代数式表示 BC 的长；
（2）请你判断谁的说法正确，为什么？
26.如图所示，在平面直角坐标系中，过点 A（﹣ ，0）的两条直线分别交 y 轴于 B、C 两点，且 B、C 两点的
纵坐标分别是一元二次方程 x2﹣2x﹣3=0 的两个根
（1）求线段 BC 的长度；
（2）试问：直线 AC 与直线 AB 是否垂直？请说明理由；
（3）若点 D 在直线 AC 上，且 DB=DC，求点 D 的坐 标；
（4）在（3）的条件下，直线 BD 上是否存在点 P，使以 A、B、P 三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，
请直接写出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由．第 5 页 共 7 页
参考答案
1.B
2.C
3.B
4.B
5.B
6.D
7.B
8.D
9.B
10.C
11.C
12.D
13. 答案为：0
14.答案为：1．
15.答案为：k＞﹣1 且 k≠0．
16.答案为：7．
17.答案为：25%．
18.【解答】解：①正确．对应角相等的两个三角形相似，又因为面积相等，所以相似比为 1，所以两个三角形
全等，故正确．
②正确．理由：“若 x2﹣x=0，则 x=0”的逆命题为 x=0，则 x2﹣x=0，故正确．
③正确．理由：∵关于 x、y 的方程组 有无数多组解，
∴ = = ，
∴a=b=1，故正确．
④正确．理由：5xy+3y﹣2x2y=﹣y（2x2﹣5x﹣3）=﹣y（2x+1）（x﹣3），故正确．
故答案为①②③④．
19.x1＝ ＋ ，x2＝ － .
20.x2－4x＝1，x2－4x＋4＝1＋4.(x－2)2＝5.x－2＝± .∴x1＝2＋ ，x2＝2－ .
21.解：9-6x+x2+x2=5 x2-3x+2=0 (x-1)(x-2)=0 x1=1 x2=2
22.解：（1）由题可得：（﹣3）2﹣4（1﹣k）＞0，解得 k＞﹣ ；
（2）若 k 为负整数，则 k=﹣1，此时原方程为 x2﹣3x+2=0，解得 x1=1，x2=2．
23.解：∵ax2+bx+1=0（a≠0）有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=0，
即 b2﹣4a=0，b2=4a，
∵ = = =第 6 页 共 7 页
∵a≠0，∴ = = =4．
24.解：降价 x 元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，
根据题意得，（60﹣x﹣40）（300+20x）=6080，解得 x1=1，x2=4，
又顾客得实惠，故取 x=4，即定价为 56 元，答：应将销售单价定位 56 元．
25.解：（1）设 AB=x 米，可得 BC=69+3﹣2x=72﹣2x；
（2）小英说法正确；矩形面积 S=x（72﹣2x）=﹣2（x﹣18）2+648，
∵72﹣2x＞0，∴x＜36，∴0＜x＜36，
∴当 x=18 时，S 取最大值，此时 x≠72﹣2x，∴面积最大的不是正方形．
26.（1）∵x2﹣2x﹣3=0，∴x=3 或 x=﹣1，
∴B（0，3），C（0，﹣1），∴BC=4，
（2）∵A（﹣ ，0），B（0，3）， C（0，﹣1），∴OA= ，OB=3，OC=1，
∴OA2=OB•OC，∵∠AOC=∠BOA=90°，∴△AOC∽△BOA，∴∠CAO=∠ABO，
∴∠CAO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，∴∠BAC=90°，∴AC⊥AB；
（3）设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，
把 A（﹣ ，0）和 C（0，﹣1）代入 y=kx+b，
∴ ，解得： ，∴直线 AC 的解析式为：y=﹣ x﹣1，
∵DB=DC，∴点 D 在线段 BC 的垂直平分线上，∴D 的纵坐标为 1，
∴把 y=1 代入 y=﹣ x﹣1，∴x=﹣2 ，∴D 的坐标为（﹣2 ，1），
（4）设直线 BD 的解析式为：y=mx+n，直线 BD 与 x 轴交于点 E，
把 B（0，3）和 D（﹣2 ，1）代入 y=mx+n，∴ ，
解得 ，∴直线 BD 的解析式为：y= x+3，
令 y=0 代入 y= x+3，∴x=﹣3 ，∴E（﹣3 ，0），∴OE=3 ，
∴tan∠BEC= = ，∴∠BEO=30°，
同理可求得：∠ABO=30°，∴∠ABE=30°，
当 PA=AB 时，如图 1，此时，∠BEA=∠ABE=30°，∴EA=AB，
∴P 与 E 重合，∴P 的坐标为（﹣3 ，0），
当 PA=PB 时，如图 2，此时，∠PAB=∠PBA=30°，
∵∠ABE=∠ABO=30°，∴∠PAB=∠ABO，∴PA∥BC，
∴∠PAO=90°，∴点 P 的横坐标为﹣ ，
令 x=﹣ 代入 y= x+3，∴y=2，∴P（﹣ ，2），
当 PB=AB 时，如图 3，∴由勾股定理可求得：AB=2 ，EB=6，
若点 P 在 y 轴左侧时，记此时点 P 为 P1，过点 P1 作 P1F⊥x 轴于点 F，第 7 页 共 7 页
∴P1B=AB=2 ，∴EP1=6﹣2 ，∴sin∠BEO= ，∴FP1=3﹣ ，
令 y=3﹣ 代入 y= x+3，∴x=﹣3，∴P1（﹣3，3﹣ ），
若点 P 在 y 轴的右侧时，记此时点 P 为 P2，过点 P2 作 P2G⊥x 轴于点 G，
∴P2B=AB=2 ，∴EP2=6+2 ，∴sin∠BEO= ，∴GP2=3+ ，
令 y=3+ 代入 y= x+3，∴x=3，∴P2（3，3+ ），
综上所述，当 A、B、P 三点为顶点的三角形是等腰三角形时，点 P 的坐标为（﹣3 ，0），（﹣ ，2），（﹣3，
3﹣ ），（3，3+ ）．
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