为了生活,为了工作,为了自己,努力工作! ———鲁迅
６．何时获得最大利润
第１课时
极值应用(１)
１．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题
的最大(小)值,提高解决问题的能力．
２．通过销售中最大利润问题的探究过程,能运用数学知识解决实际问题的能力．
夯实基础,才能有所突破ƺƺ
１．已知二次函数y＝ －２(x＋５)２
－８,当 x＝
时,
y最大值
＝ ．
２．已知二次函数y＝３(x－１)(x＋２),则当x＝
时,
y最小值
＝ ．
３．某水果店销售一批水果,每箱进价为
４０
元,售价为
６０
元,
每天可卖
５０
箱．因为积压时间不能太长,所以该店决 定
降价售出．若降价
５
元,则每天可多售出
１０
箱．若现在售
价为x 元(４０＜x＜６０),则 现 在 每 天 可 多 卖 出
箱,每天共卖出
箱,每箱的利润为
元,
即每天的总利润可表示为
．
４．已知
２≤x≤５,求代数式
－３x２
＋６x－ ３
２
的最值．
５．将进货单价为
９０
元的某件商品按
１００
元一个售出时,能
售出
５００
个,如果这种商品每个涨价
１
元,其销售量就减
少
１０
个．为了获取最大利润,售价应定为多少元?
６．某商品的进价为每件
４０
元．当售价为每件
６０
元时,每星
期可卖出
３００
件,现需降价处理,且经市场调查:每降价
１元,每星期可多卖出
２０
件．在确保盈利的前提下,解答下
列问题:
(１)若设每件降价x 元,每星期售出商品的利 润 为y 元,
请写出y 与x 的函数关系式,并求出自变量x 的取值
范围;
(２)当降价 多 少 元 时,每 星 期 的 利 润 最 大? 最 大 利 润 是
多少?
(３)请画出上述函数的大致图象．
７．商店把进价为
８
元的商品按每件
１０
元售出,每天可销售
２００
件,现采用提高售价,减少进货量的办法增加利润,已
知这种商品每涨价
０．５
元,其销售量就减少
１０
件,若将售
价定为x(元)时(x≥１０),每天所获利润为y(元)．
(１)求y 与x 的函数关系式;
(２)当定价为多少元时,所获利润最多?
课内与课外的桥梁是这样架设的.
８．已知二次函数y＝x２
－６x＋m 化成y＝a(x－h)２
＋k的最
小值为
１,那么 m 的值是
．
９．如图,小明的父亲在相距
２
米的两棵树间拴了一根绳子,
给小明做了一个 简 易 的 秋 千．拴 绳 子 的 地 方 距 地 面 高 都
是
２．５
米,绳子自然下垂呈抛物线状,身高
１
米的小明距
较近的那棵树
０．５
米时,头部刚好接触到绳子,则绳子的
最低点距地面的距离为
米．
(第
９
题)君子赠人以言,庶人赠人以财.———荀况
１０．某公司推出了 一 种 高 效 环 保 型 洗 涤 用 品,年 初 上 市 后,
公司经历了从亏损到盈利的过程,如图所示的二次函数
图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与
销售时间t(月)之间的关系．(即前七个月的利润总和s
与t之间的关系)
根据图象提供的信息,解答下列问题．
(１)由已知图象上的三点坐标,求累积利润s(万元)与时
间t(月)之间的函数关系式;
(２)求截止到几月末公司累积利润可达到
３０
万元?
(３)求第
８
个月公司所获利润是多少万元?
(第
１０
题)
对未知的探索,你准行!
１１．某商场销售某种样品的纯牛奶,每箱进价为
４０
元,若平
均每天的销售量y(箱)与每箱售价x(元)之间的函数关
系式满足y＝２４０－３x．
(１)每天可获利润 W 的表达式为
;
(２)当销售单价x＝
时,每天所获利润最大,最
大利润为
．
１２．某果园有
１００
棵梨树,每一棵树平均结
６００
个梨,现准备
多种一些梨树以提高产量,但是如果多种树,那么树 之
间的距离和每棵树所接受的阳光就会减少,根据经验估
计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结
５
个梨．
(１)多种多少棵梨树,可以使该园梨的总产量最多?
(２)多 种 多 少 棵 梨 树 地,可 以 使 该 果 园 梨 的 总 产 量 在
６０４００
个以上?
１３．春节期间某水库养殖场为适应市场需求,连续用
２０
天时
间,采用每天降 低 水 位 以 减 少 捕 捞 成 本 的 办 法,对 水 库
中某种鲜鱼进行捕捞、销售．九(１)班数学建模兴趣小组
根据调查,整理出第x 天(１≤x≤２０
且x 为整数)的捕捞
与销售的相关信息如下:
鲜鱼销售单价(元/
kg) ２０
单位捕捞成本(元/
kg) ５－
x
５
捕捞量(kg) ９５０－１０x
(１)在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一天的捕捞量
相比是如何变化的?
(２)假定该养 殖 场 每 天 捕 捞 和 销 售 的 鲜 鱼 没 有 损 失,且
能在当天全部售出,求第x 天的收入y(元)与x (天)
之间的函数关 系 式? (当 天 收 入
＝
日 销 售 额—日 捕
捞成本)
(３)试说明(２)中的函数y 随x 的变化情况,并指出在第
几天y 取得最大值,最大值是多少?
解剖真题,体验情境.
１４．(２０１２Ű广西北海)大润发超市进了一批成本为
８
元/个的
文具盒．调查发现:这种文具盒每个星期的销售量y(个)
与它的定价x(元/个)的关系如图所示:
(第
１４
题)
(１)求这种文具盒每个星期的销售量y(个)与它的定价
x(元/个)之间的函数关系式(不 必 写 出 自 变 量 x 的
取值范围);
(２)每个文具盒定 价 是 多 少 元 时,超 市 每 星 期 销 售 这 种
文具盒(不考虑其他因素)可获得的利润最高? 最高
利润是多少?６．何时获得最大利润
第
１
课时
极值应用(１)
１．－５ －８ ２．－ １
２ －２７
４
３．１２０－２x １７０－２x x－４０ (x－４０)(１７０
－２x)
４．当x＝２
时,y最大
＝ －３×２２ ＋６×２－ ３
２ ＝
－ ３
２ ;当x＝５
时,y最小
＝－３×５２＋６×５－ ３
２
＝－９３
２
．
５．售价应定为
１２０
元．
６．(１)y＝(６０－x－４０)(３００＋２０x)＝(２０－x)
Ű(３００＋２０x)＝－２０x２＋１００x＋６０００,０≤x＜２０;
(２)y＝－２０(x－２．５)２＋６１２５,
∴
当x＝２．５
元,每星期的利润最大,最大
利润是
６１２５
元;
(３)图象略．
７．(１)y＝(x－８)(４００－２０x)＝－２０x２＋５６０x
－３２００．
(２)定价为
１４
元时,所获利润最多．
８．１０ ９．０．５
１０．(１)设s与t之间的函数关系式为s＝at２＋bt＋c．
由题意,得
a＋b＋c＝－１．５,
４a＋２b＋c＝－２,
２５a＋５b＋c＝２．５,
{
解得
a＝ １
２ ,
b＝－２,
c＝０．
{
故s＝ １
２
t２－２t．
(２)把s＝３０
代入s＝ １
２
t２－２t,得 １
２
t２－２t
＝３０．
解得t１＝１０,t２＝－６(舍去)．
故截止到
１０
月末公司累积利润可达到
３０万元．
(３)把t＝７
代入,得s＝ １
２ ×７２－２×７＝
１０．５．
把t＝８
代入,得s＝ １
２ ×８２－２×８＝１６．
则
１６－１０．５＝５．５．
故第
８
个月公司所获利润为
５．５
万元．
１．(１)W ＝－３x２＋３６０x－９６００
(２)６０ １２００
１２．(１)设多种x 棵梨树,梨的总产量为y 个,则y ＝(６００－５x)(１００＋x)
＝－５x ２＋１００x＋６００００
＝－５(x－１０)２＋６０５００(x为正整数)
∴
当x＝１０
时,y最大值
＝６０５００(个)．
即多种
１０
棵梨树时,可使该果园梨的总产
量最多,最多为
６０５００
个．
(２)依题意有
－５x２＋１００x＋６００００＞６０４００,
解得
１０－２ ５＜x＜１０＋２ ５．
∴ x 取值
６,７,ƺ１３,１４．
∴
多种
６,７,ƺ１３,１４
棵梨树都可以使该
果园梨的总产量在
６０４００
个以上．
１３．(１)该养殖场每天的捕捞量与前一天的捕
捞量相比每天减少了
１０kg．
(２)由 题 意,得 y ＝２０(９５０－１０x)－
５－
x
５
( ) (９５０－１０x)＝ －２x２ ＋４０x ＋
１４２５０．
(３)∵ －２＜０,y＝－２x２＋４０x＋１４２５０
＝－２(x－１０)２＋１４４５０,又
１≤x≤２０
且x 为整数,
∴
当x＝１０
时,即在第
１０
天,y 取 得 最
大值,最大值为
１４４５０
元．
１４．(１)设y＝kx＋b,
由题意,得 １０k＋b＝２００,
１４k＋b＝１６０．{
解得k＝－１０,b＝３００．
∴ y＝－１０x＋３００．
(２)由上知超市每星期的利润
W ＝(x－８)Űy＝(x－８)(－１０x＋３００)
＝－１０(x－８)(x－３０)
＝－１０(x２－３８x＋２４０)
＝－１０(x－１９)２＋１２１０
∴
当x＝１９,即 定 价
１９
元/个 时 超 市 可
获得的利润最高,最高利润为
１２１０
元．
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