对别人的意见要表示尊重.千万别说:“你错了.”———卡耐基
第２课时
极值应用(４)
１．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能够运用二次函数的知
识解决实际问题中的最大(小)值．
２．能够建立实际问题中变量之间的二次函数关系．
夯实基础,才能有所突破ƺƺ
１．如图,等 腰
Rt△ABC(∠ACB＝９０°)的 直 角 边 与 正 方 形
DEFG 的边长均为
２,且AC 与DE 在同一直线上,开始时
点C 与点D 重合,让
△ABC 沿 这 条 直 线 向 右 平 移,直 到
点 A 与点E 重合为止．设CD 的长为x,△ABC 与正方形
DEFG 重合部分(图中阴影部分)的面积为y,则y 与x 之
间的函数关系的图象大致是( )．
(第
１
题)
２．如图,在
△ABC 中,∠B＝９０°,AB＝１２mm,BC＝２４mm,
动点 P 从点A 开始沿边AB 向B 以
２mm/s
的速度移动
(不与点 B 重 合),动 点 Q 从 点B 开 始 沿 边 BC 向C 以
４mm/s
的速度移 动 (不 与 点 C 重 合)．如 果 P、Q 分 别 从
A、B 同时出发,那么经过
s,四边形 APQC 的面
积最小．
(第
２
题)３．如图,有三间猪 舍,它 们 是 一 排 大 小 相 等 的 三 个 矩 形,一
面利用旧墙,其他各墙(包括中间的隔墙)都用木料．已知
现有木料可排成
２４m
长,每 间 猪 舍 的 长 x 为 多 少 时,猪
舍总面积最大? 这时总面积为多少?
(第
３
题)
４．某地房地产公司要在一块地上,规划建造一个小区公园,
如图所示．为了使文物保护区
△AEF 不被破坏,矩形公园
的顶点G 不能在文物保护区内,已知 AB＝２００m,AD＝
１６０m,AE＝６０m,AF＝４０m．
(１)当矩形 公 园 的 顶 点 G 恰 是 EF 的 中 点 时,求 公 园 的
面积;
(２)当G 在EF 上什么位置时,公园面积最大?
(第
４
题)
课内与课外的桥梁是这样架设的.
５．在边长为
６cm
的正方形 ABCD 中,点 E、F、G、H 分别按
A→B,B→C,C→D,D→A 的方向同时出发,以
１cm/s
的
速度匀速运动．
(第
５
题)
(１)在运动中,点所形成的四边形EFGH 为( )．
A．
平行四边形
B．
矩形
C．
菱形
D．
正方形
(２)四边形EFGH 的面积S(cm
２)随运动时间t(s)变化的
图象大致是( )．朋友是一起度过美好时光的人! ———来恩
(３)写出四边形EFGH 的面积S(cm
２)关于运动时间t(s)
变化的函数关系式,并求运动多长时间后,面积最小?
最小值是多少?
６．如图,已知点 A、B 的坐标分别为(２８,０)和(０,２８),动点 P
从点A 开始在线段AO 上以每秒
３
个长度单位的速度向
原点运动,动直线EF 从x 轴开始以每秒
１
个长度单位的
速度向上平行移 动(即 EF∥x 轴)并 且 分 别 与 y 轴、AB
交于点E、F．设动点 P 与动直线EF 同时出发,运动时间
为ts．
(１)当t＝１s
时,求梯形OPFE 的面积;
(２)t 为 何 值 时,梯 形 OPFE 的 面 积 最 大,最 大 面 积 是
多少?
(第
６
题)
７．现有一块矩形场地如图所示,其长为
４０m,宽为
３０m,要
将这块地划分为四块分种种植 A 兰花,B 菊花,C 月季,D
牵牛花．
(１)求出这块场地中种植菊花的面积y 与B 场 地 的 长x
之间的函数关系式,求此函数的图象与x 轴的交点坐
标,并写出自变量的取值范围;
(２)当x 为多少时,种植菊花的面积最大? 最大面积是多
少? 请画出此函数图象的草图
(第
７
题)
对未知的探索,你准行!
８．把一张长
１０cm,宽
８cm
的矩形硬纸板的四周各剪去一个
同样大小的正方形,再折合成一个无盖的长方体盒子(纸
板的厚度忽略不计)
(１)如果要使长方体盒子的底面积为
４８cm
２,那么剪去的
正方形的边长为多少?
(２)你感觉折合而成的长方 体 盒 子 的 侧 面 积 会 不 会 有 最
大的情况? 如果有,请你求出最大值和此时剪去的正
方形的边长;如果没有,请你说明理由．
９．如图,在
△ABC 中,∠A＝９０°,AB＝６,AC＝８,D 是AB 上
一动点,DE∥BC,交 AC 于点E,将四边形 BDEC 沿DE
向上翻折,得四边形B′DEC′,B′C′与AB、AC 分别交于点
M 、N．
(１)证明:△ADE ∽△ABC;
(２)设 AD 为x,梯形 MDEN 的面积为y,试求y 与x 的
函数关系式．当x 为何值时,y 有最大值?
(第
９
题)
解剖真题,体验情境.
１０．(２０１２Ű贵州遵义)已知抛物线y＝ax２
＋bx＋c(a≠０)的图
象经过 原 点 O,交 x 轴 于 点 A,其 顶 点 B 的 坐 标 为
(３,－ ３)．
(１)求该抛物线的函数关系式及点 A 的坐标;
(２)在抛物线上求点 P,使S△POA ＝２S△AOB ．
(第
１０
题)第
２
课时
极值应用(４)
１．A ２．３
３．猪舍的总面积
＝－４x２＋２４x＝－４(x－３)２
＋３６．
∴
当x＝３m
时,猪舍的总面积最大,最大
面积为
３６m２．
４．(１)当 G 是EF 的中点时,可知 MG、GN 都
是
△FAE 的中位线．
∴ MG＝ １
２
AE＝３０,GN＝ １
２
FA＝２０．
∴
公 园 的 面 积 S矩形KGHC ＝ HGŰKG＝
(１６０－２０)×(２００－３０)＝２３８００(m２)．
(２)当FG＝ １
６
EF 时,公园面积最大．
５．(１)D (２)B
(３)S＝２(t－３)２＋１８ ３s １８cm２
６．(１)梯形 OPFE 的 面 积
＝ １
２ (OP＋EF)Ű
OE＝ １
２ ×(２５＋２７)×１＝２６．
(２)梯形OPFE 的面积
＝ １
２ (２８－３t＋２８－
t)×t＝－２t２＋２８t．
当t＝－
b
２a＝ － ２８
－４＝７(s)时,梯 形 OPFE
面积最大,最大面积为
９８．
７．(１)依题意,B 场 地 的 长 为x m,宽 为(３０－x)m,
∴ y＝xŰ(３０－x)＝－x２＋３０x．
当y＝０
时,有x２＋３０x＝０,
∴ x１＝０,x２＝３０．
∴
此函数关系式为y＝－x２＋３０x．
函数图象与x 轴的交点为(０,０)(３０,０)．
依题意,自变量应满足
x＞０,
４０－x＞０,
３０－x＞０,
{
∴ ０＜x＜３０．
自变量x 的取值范围为
０＜x＜３０．
(２)y ＝－x２＋３０x＝－(x２－３０x＋２５５)＋２５５
＝－(x－１５)２＋２５５,
∴
当 x＝１５
时,有 最 大 值
２２５,即 x 为
１５m
时,种植菊花的面积最 大,最 大 面 积 为
２２５m２．草图如下:
(第
７
题)
８．(１)设剪去的正方形的边长为xcm,则(１０－
２x)(８－２x)＝４８,即x２－９x＋８＝０．解得x１
＝８(不合题意,舍去)或x２＝１,
∴
剪去的正方形的边长为
１cm．
(２)有侧面积最大的情况．
设剪去的正方形的边长为xcm,盒子的侧面
积为ycm２,则y 与x 的函数关系式为y＝２(１０－２x)x
＋２(８－２x)x,
即y＝－８x２＋３６x＝－８ x－ ９
４
( )２
＋８１
２
．
当x＝２．２５
时,y 最大值
＝４０．５(cm２)．
即当剪去的正方形的边长为
２．２５cm
时,长
方体盒子的侧面积最大为
４０．５cm２．
９．(１)因 为 DE ∥BC,所 以
∠ADE ＝ ∠B,
∠AED＝∠C．所以
△ADE ∽△ABC．
(２)因 为 S△ABC ＝２４,△ADE ∽ △ABC,相
似比为 x
６ ,
(第
９
题)
所以S△ADE
S△ABC ＝
x
６
( )２．
所以S△ADE ＝ ２
３
x２．
因为
∠１＝∠２,∠１＝∠B′,∠２＝∠B′MD,所以
∠B′＝∠B′MD．所以B′D＝MD．
又B′D＝BD,所以 MD＝BD．
所以AM＝AB－MB＝６－２(６－x)＝２x－６．
同理,△AMN ∽ △ABC,S△AMN ＝ ８
３ (x－
３)２．
所以y＝S△ADE －S△AMN ＝－２x２＋１６x－２４
＝－２(x－４)２＋８,所以当x＝４
时,y 有最大值．
１０．(１)y＝ ３
９
x２－２ ３
３
x,
A 的坐标为(６,０)．
(２)P１(３＋３ ３,２ ３),P２(３－３ ３,２ ３)．
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