先相信自己,然后别人才会相信你.———罗曼Ű罗兰
第２课时
一元二次方程与二次函数的关系应用
１．能运用一元二次方程与二次函数的关系将复杂的问题简单化．
２．能利用二次函数的顶点坐标公式解决实际问题中最值问题．
夯实基础,才能有所突破ƺƺ
１．函数y＝ax２
＋bx＋c的图象如图所示,则下列结论中错误
的是( )．
(第
１
题)
A．a＞０
B．b２
－４ac＞０
C．ax２
＋bx＋c＝０
的两根之和为负
D．ax２
＋bx＋c＝０
的两根之积为正
２．若抛物线y＝２x２
－３x－５
与x 轴交于A、B 两点,则线段
AB 的长为( )．
A．９
２ B．７
２
C．７
３ D．３
３．若二次函数y＝mx２
－２x－１
与x 轴有两个交点,则 m 的
取值范围是
．
４．抛物线y＝x２
＋４x＋４
与x 轴的交点坐标是
,则
方程x２
＋４x＋４＝０
的根是
．
５．一元二次方程(x－１)２
＝１６
的根是
,抛物线y＝
(x－１)２
－１６
与x 轴的交点坐标为
．
６．若一元二次方程x２
＋２x－a＝０
的一个根为
３,则抛物线
y＝x２
＋２x－a的关系式为
．
７．已知抛物线y＝x２
－(m－２)x＋m－５
的图象与x 轴交于
A、B 两点,与y 轴 交 于 点C,O 为 原 点,当 线 段 AB 最 短
时,求线段OC 的长．
８．已知抛物线y＝x２
－２x－８．
(１)求证:该抛物线与x 轴一定有两个交点;
(２)若该抛物线与x 轴的两个交点分别为A、B,且它的顶
点为 P,求
△ABP 的面积．
课内与课外的桥梁是这样架设的.
９．已知二次函数y＝ax２
＋bx＋c,若a＞０,Δ＝０,则它的图
象大致是( )．
１０．二次函数与x 轴的一个交点为(－２,０),对称轴是直线x
＝３,则它与x 轴的另一个交点为
．
１１．若二次函数y＝(m＋５)x２
＋２(m＋１)x＋m 的图象全部
在x 轴的上方,则 m 的取值范围是
．
１２．如图,已 知 二 次 函 数 y＝ － １
２
x２
＋bx＋c 的 图 象 经 过
A(２,０),B(０,－６)两点．
(１)求这个二次函数的解析式;
(２)设该二次函数的对称轴与 x 轴 交 于 点C,连 接 BA、
BC,求
△ABC 的面积．
(第
１２
题)为真理而斗争是人生最大的乐趣.———布鲁诺
１３．已知抛物线y＝x２
＋kx－ ３
４
k２(k为常数,且k＞０)．
(１)求证:此抛物线与x 轴总有两个交点;
(２)设抛物线与x 轴交于 M 、N 两点,若这两点到原点的
距离分别为OM、ON,且 １ON－ １OM＝ ２
３ ,求k的值．
对未知的探索,你准行!
１４．函数y＝x２
－(m＋１)x－４(m＋５)的图象与x 轴交于A、
B 两点,且OA∶OB＝１∶４,则 m 的值为
．
１５．已知关于x 的二次函数y＝x２
＋(２k－１)x＋k２
－１,且关
于x 的一元二次方程x２
＋(２k－１)x＋k２
－１＝０
的两个
根的平方和等于
９．若设这个二次函数的图象与x 轴从
左至右交于点A、B,问在对称轴右 边 的 图 象 上,是 否 存
在点 M 使锐角
△AMB 的 面 积 等 于
３? 若 存 在,请 求 出
点 M 的坐标;若不存在,请说明理由．
解剖真题,体验情境.
１６．(２０１２Ű四川资阳)如图是二次函数y＝ax２
＋bx＋c的 部
分图象,由 图 象 可 知 不 等 式 ax２
＋bx＋c＜０
的 解 集 是
( )．
(第
１６
题)
A．－１＜x＜５ B．x＞５
C．x＞－１
且x＜５ D．x＜－１
或x＞５
１７．(２０１２Ű贵州贵阳)如图,二次函数y＝ １
２
x２
－x＋c的图象
与x 轴分别交于A、B 两点,顶点 M 关于x 轴的对称点
是 M′．
(１)若 A(－４,０),求二次函数的关系式;
(２)在(１)的条件下,求四边形 AMBM′的面积;
(３)是 否 存 在 抛 物 线 y＝ １
２
x２
－x＋c,使 得 四 边 形
AMBM′为正方形? 若存在,请求出此抛物线的函数
关系式;若不存在,请说明理由．
(第
１７
题)第
２
课时
一元二次方程与二次函数
的关系应用
１．D ２．B
３．m＞－１
且 m≠０
４．(－２,０) x１＝x２＝－２
５．－３
和
５ (－３,０),(５,０)
６．y＝x２＋２x－１５
７．设 A(x１,０),B(x２,０),则x１＋x２＝m－２,x１x２＝m－５．
|AB|＝ (x１－x２)２
＝ (x１＋x２)２－４x１x２
＝ (m－２)２－４(m－５)
＝ (m－４)２＋８．
当m＝４
时,AB 最短,此时OC＝|m－５|＝１．
８．(１)因为对于方程x２－２x－８＝０,b２－４ac＝
(－２)２－４×(－８)＝３６＞０,所以方程x２－
２x－８＝０
有两个实根,抛 物 线y＝x２－２x
－８
与x 轴一定有两个交点．
(２)因为方程x２－２x－８＝０
有两个根为x１
＝－２,x２＝４,所以 AB＝|x１－x２|＝６．
又抛物线顶 点 P 的 纵 坐 标yp ＝４ac－b２
４a ＝
－９,所以S△ABP ＝ １
２ ŰABŰ|yp|＝２７．
９．A １０．(８,０) １１．m＞ １
３
１２．(１)由 已 知,得 －２＋２b＋c＝０,
c＝－６,
{ 解 得
b＝４,
c＝－６．{
故这个二次函 数 的 解 析 式 为 y＝ － １
２
x２
＋４x－６．
(２)y＝－ １
２
x２＋４x－６
＝－ １
２ (x－４)２＋２,
∴
对称轴为x＝４,C(４,０)．
∴ AC＝２,OB＝６,S△ABC ＝ １
２
ACŰOB
＝６．
１３．(１)Δ＝k２－４×１× － ３
４
k２( ) ＝４k２．
∵ k＞０,
∴ Δ＝４k２＞０．
∴
此抛物线与x 轴总有两个交点．
(２)方 程 x２＋kx－ ３
４
k２＝０
的 解 为 x１ ＝
１
２
k,x２＝－ ３
２
k．
∵ １ON－ １OM＝ ２
３ ＞０,
∴ OM＞ON．
∵ k＞０,
∴ M － ３
２
k,０( ) ,N １
２
k,０( ) ．
∴ OM＝ ３
２
k,ON＝ １
２
k．
∴ １ON－ １OM＝ １
１
２
k－ １
３
２
k＝ ２
３
．
解得k＝２．
１４．－４,－６,１１
或
－２１
１５．在对称轴右边的图象上存在点 M,使锐角
△AMB 的面积等于
３,此时点 M 的坐标为
(２,－２)
１６．D
１７．(１)y＝ １
２
x２－x－１２．
(２)１２５．
(３)存在抛物线y＝ １
２
x２－x－ ２
３ ,使得四
边形 AMBM′为正方形．
理由如下:令y＝０,则 １
２
x２－x＋c＝０,设
点 AB 的坐标分别为A(x１,０)B(x２,０),则x１＋x２＝２,x１Űx２＝２c,
AB＝ (x１＋x２)２－４x１x２ ＝ ４－８c,
点 M 的纵坐标为４ac－b２
４a ＝２c－１
２ ,
∵
顶点 M 关于x 轴的对称点是 M′,四
边形 AMBM′为正方形,
∴ ４－８c＝２×２c－１
２
．
整理,得
４c２＋４c－３＝０,
解得c１＝ １
２ ,c２＝－ ３
２ ,
又
抛物线与x 轴有两个交点,
∴ Δ＝b２－４ac＝(－１)２－４× １
２
c＞０．
解得c＜ １
２
．
故c＝－ ３
２ ,抛物线的关系式为y＝ １
２
x２
－x－ ３
２
．
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