社会犹如一条船,每个人都要有掌舵的准备.———易卜生
８．二次函数与一元二次方程
第１课时
基 础 知 识
１．掌握用二次函数的图象法求一元二次方程的近似根,进一步提高估算能力．
２．通过观察二次函数的图象与x 轴的交点个数,讨论一元二次方程的根的情况,理解一元二次方
程ax２
＋bx＋c＝h的根就是二次函数y＝ax２
＋bx＋c 与直线y＝h(h是实数)交点的横坐标．
夯实基础,才能有所突破ƺƺ
１．函 数 y＝mx２
－２x＋３
与 x 轴 有 两 个 交 点 的 条 件 是
( )．
A．m≥ １
３ B．m≤ １
３
C．m≤ １
３
且 m≠０ D．m＜ １
３
且 m≠０
２．二次函数y＝ax２
＋bx＋c的图象如图所示,则一元二次方
程ax２
＋bx＋c＝０
的根的情况为( )．
(第
２
题)
A．
无实数根
B．
有两个相等的实数根
C．
有两个同号实根
D．
有两个异号实根
３．已知y＝(x－１)(x＋２),当y＝０,即一元二次方程(x－１)
Ű(x＋２)＝０
的两个根是
．
４．抛物线y＝x２
＋bx＋c经过A(－１,０),B(３,０)两点,则一
元二次方程x２
＋bx＋c＝０
的两个根是
．
５．已知抛物线y＝ax２
＋bx＋c的图象如图所示,则b２
－４ac
０,方程ax２
＋bx＋c＝０
有
实数根．
(第
５
题)
(第
６
题)６．若二次函数y＝－x２
＋２x＋k 的部分图象如图所示,则关
于x 的一元二次方程
－x２
＋２x＋k＝０
的一个解x１ ＝３,
另一个解x２＝ ．
７．已知一元二次方程ax２
＋bx＋c＝０
的两个根分别为x１＝
－ １
２ ,x２＝ ２,则抛物线y＝ax２
＋bx＋c与x 轴的两个交
点的坐标分别为
．
８．画出 函 数 y＝x２
－２x－３
的 图 象,根 据 图 象 回 答 下 列
问题．
(１)图象与x 轴,y 轴的交点坐标分别是什么?
(２)当x 取何值时,y＝０,这时的x 的取值与方程x２
－２x
－３＝０
有什么关系?
(３)x 取什么值时,函数值y 大于
０? x 取什么值时,函数
值y 小于
０?
课内与课外的桥梁是这样架设的.
９．已知抛物线y＝ax２
＋bx＋c的图象如图所示,则一元二次
方程ax２
＋bx＋c＝０( )．
A．
没有根
B．
只有
１
个根
C．
有两个根,且一个正,一个负
D．
有两个根,且两根均为负数
(第
９
题)
(第
１０
题)
１０．已知抛物线y＝ax２
＋bx＋c的图象如图所示,则关于x
的方程ax２
＋bx＋c－３＝０
的根的情况是( )．
A．
有两个不相等的正根
B．
有两个异号的实数根
C．
有两个相等的实数根
D．
没有实数根
１１．已知 抛 物 线 y＝ － １
２
x２
＋x＋k 与x 轴 的 交 点 坐 标 是
(１,０),则一元二次方程 １
２
x２
－x－k＝０
有
实
数根．
１２．已知抛物线y＝x２
－６x＋５
的部分图象如图所示,则抛
物线的对称轴为直线x＝ ,满足y＜０
的x 的取
值范围是
,将抛物线y＝x２
－６x＋５
向
平移
个单位,则得到抛物线y＝x２
－６x＋９．
(第
１２
题)人生不是一种享乐,而是一桩十分沉重的工作.———列夫Ű托尔斯泰
１３．利用二次函数的图象求出一元二次方程
２x２
－４x＋１＝０的近似根．
１４．(１)当c为何值时,抛物线y＝２x２
＋６x＋c与x 轴只有一
个交点?
(２)在函数y＝ax２
＋bx＋c中,若ac＜０,则抛物线与 x
轴有几个交点?
对未知的探索,你准行!
１５．若一抛物线与x 轴两个交点间的距离为
８,且顶点坐标
为(１,５),则它的解析式是
．
１６．已知一元二次方程x２
＋px＋q＋１＝０
的一根为
２．
(１)求q关于p 的关系式;
(２)求证:抛物线y＝x２
＋px＋q与x 轴有两个交点;
(３)设抛物线y＝x２
＋px＋q 的顶点为 M ,且与 x 轴相
交于A(x１,０),B(x２,０)两点,求使
△AMB 面积最小
时的抛物线的解析式．
解剖真题,体验情境.
１７．(２０１２Ű山东滨州)抛物线y＝－３x２
－x＋４
与坐标轴的交
点个数是
．
１８．(２０１２Ű甘肃兰州)若x１,x２
是关于一元二次方程ax２
＋bx
＋c(a≠０)的两个根,则方程的两个根x１,x２
和系数a,
b,c有如下关系:x１ ＋x２ ＝－
b
a ,x１ Űx２ ＝
c
a ．把它称为
一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y＝
ax２
＋bx＋c(a≠０)的 图 象 与 x 轴 的 两 个 交 点 为A(x１,
０),B(x２,０)．利用根与系 数 关 系 定 理 可 以 得 到 A、B 连
个 交 点 间 的 距 离 为:AB ＝ | x１ － x２ | ＝
(x１＋x２)２
－４x１x２ ＝ －
b
a( )２
－４c
a ＝
b２
－４ac
a２
＝
b２
－４ac
|a|
．
参考以上定理和结论,解答下列问题:
设二次函数y＝ax２
＋bx＋c(a＞０)的图象与x 轴的两个
交点A(x１,０),B(x２,０),抛物线的顶点为C,显然
△ABC
为等腰三角形．
(１)当
△ABC 为直角三角形时,求b２
－４ac的值;
(２)当
△ABC 为等边三角形时,求b２
－４ac的值．
(第
１８
题)８．二次函数与一元二次方程
第
１
课时
基 础 知 识
１．D ２．D
３．x１＝－２,x２＝１ ４．x１＝－１,x２＝３
５．＞
两个不相等的
６．－１
７． － １
２ ,０( ) ,(２,０)
８．(１)(图略)图象与x 轴交点坐标为(－１,０),
(３,０),与y 轴的交点坐标为(０,－３)．
(２)当x＝－１
或x＝３
时,y＝０,x 的取值与
方程x２－２x－３＝０
的解相同．
(３)当x＜－１
或x＞３
时,y＞０;当
－１＜x＜
３
时,y＜０．
９．D １０．C １１．两个相等的
１２．３ １＜x＜５
上
４
１３．x＝０．３
或x＝１．７
１４．(１)∵
抛物线与x 轴只有一个交点,
∴
一元二次方程
２x２＋６x＋c＝０
有两个
相等的实数根．
∴ Δ＝b２－４ac＝３６－８c＝０．
∴ c＝ ９
２
．
即当c＝ ９
２
时,抛物线y＝２x２＋６x＋c与x
轴只有一个交点．
(２)∵
在函数y＝ax２＋bx＋c中,ac＜０,
∴ －４ac＞０,
∴ b２－４ac＞０,即Δ＞０．
∴
一元二次方程ax２＋bx＋c＝０
有两个
不相等的实数根．
∴
抛物线y＝ax２＋bx＋c与x 轴有两个
交点．
１５．y＝－ ５
１６
x２＋ ５
８
x＋７５
１６
１６．(１)由题意,得
２２＋２p＋q＋１＝０,即q＝－(２p＋５)．
(２)∵
一元二次方程x２＋px＋q＝０
的判
别式Δ＝p２－４q,由(１),得Δ＝p２＋４(２p＋５)＝p２＋８p＋２０
＝(p＋４)２＋４＞０,
∴
一元二次方程x２＋px＋q＝０
有两个
不相等的实根．
∴ y＝x２＋px＋q与x 轴有两个交点．
(３)抛物线的解析式为y＝x２－４x＋３．
１７．３
１８．(１)b２－４ac＝４．
(２)b３－４ac－１２．
微信/支付宝扫码支付