心灵纯洁的人,生活充满甜蜜和喜悦.———列夫Ű托尔斯泰
７．最大面积是多少
第１课时
极值应用(３)
１．掌握解决具有二次函数特征的数学模型的实际问题,寻求解决问题的最佳方案．
２．应用二次函数的顶点公式知识解决面积最值问题．
夯实基础,才能有所突破ƺƺ
１．如图(单位:m),直角梯形ABCD 以
２m/s
的速度沿直线l
向正方形CEFG 方向移动,直到 AB 与EF 重合,直角梯
形 ABCD 与正方形CEFG 重叠部分的面积s 关于移动时
间t的函数图象可能是( )．
(第
１
题)
２．将一条长为
２０cm
的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长
度为周长各做成 一 个 正 方 形,则 这 两 个 正 方 形 面 积 之 和
的最小值是
cm
２．
３．某个体养殖户计划用现有的
３４m
长的篱笆和墙围成一个
矩形养鸡场,如图所示．若设 AB＝xm,矩形 ABCD 的面
积为S m
２．
(１)请表示S 与x 的函数关系式;
(２)当 AB 等于多少时,S 有最大值,并求出这个最大值．
(第
３
题)
４．如图,某农场修 一 条 水 渠,横 断 面 是 等 腰 梯 形,一 底 角 为
１２０°,两腰与底BC 的和为
４m．
(１)当水渠深为xm
时,横断面面积为Sm
２,请写出S 与
x 的关系式．
(２)当x 为何值时,横断面面积S 最大,最大面积是多少?
(第
４
题)
课内与课外的桥梁是这样架设的.
５．如图,用
１２
米长的木方,做一个有一条横档的矩形窗子,
为使透进的光线最多,选择窗子的长为
米,宽为
米．
(第
５
题)６．用长度为
２０m
的金属材料制成如图所示的金属框,下部
为矩形,上部为等腰直角三角形,其斜边长为
２xm,当该
金属框围成的图 形 面 积 最 大 时,图 形 中 矩 形 的 相 邻 两 边
长各为多少? 请求出金属框围成的图形的最大面积．
(第
６
题)自我控制是最强者的本能.———萧伯纳
７．如图,在
Rt△ABC 中,∠C＝９０°,BC＝１,AC＝２,点 D 在
斜边AB 上,点E、F 分别在边AC、BC 上,四边形 DFCE
是矩形．设 DE＝x,四边形 DFCE 的面积为S．
(１)求S 与x 之间的函数关系式．
(２)当x 取何值时,矩形的面积最大,最大值是多少?
(第
７
题)
８．某数学研究所门前有一个边长为
４
米的正方形花坛,花坛
内部要用红、黄、紫三种颜色的花草种植成如图所示的图
案,图案中 AE＝MN．准备在形如
Rt△AEH 的四个全等
三角形内种植红色花草,在形如
Rt△MEH 的四个全等三
角形内种 植 黄 色 花 草,在 正 方 形 MNPQ 内 种 植 紫 色 花
草,每种花草的价格如下表:
品种 红色花草 黄色花草 紫色花草
价格(元/米２) ６０ ８０ １２０
设 AE 的长为x 米,正方形EFGH 的面积为S 平方米,买
花草所需的费用为 W 元,解答下列问题:
(１)求S 与x 之间的函数关系式;
(２)求 W 与x 之间的函数关系式,并求所需的最低费用是
多少元;
(３)当买花草所需的费用最低时,求EM 的长．
(第
８
题)
对未知的探索,你准行!
９．甲、乙两人进行 羽 毛 球 比 赛,甲 发 出 一 个 十 分 关 键 的 球,
出手点为 P,羽毛球飞行的水平距离s(m)与其距地面高
度h(m)之间的关系式为h＝－ １
１２
s２
＋ ２
３
s＋ ３
２
．如图,已
知球网 AB 距原点
５m,乙(用线段 CD 表示)扣球的最大
高度为 ９
４ m,设乙的起跳点C 的横坐标为m,若乙原地起
跳,因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败,
则 m 的取值范围是
．
(第
９
题)１０．如图,在矩形 ABCD 中,AB＝m(m 是 大 于
０
的 常 数),
BC＝８,E 为线 段BC 上 的 动 点 (不 与 B、C 重 合)．连 接
DE,作EF⊥DE,EF 与 射 线BA 交 于 点F,设 CE＝x,
BF＝y．
(１)求y 关于x 的函数关系式;
(２)若 m＝８,求x 为何值时,y 的值最大,最大值是多少?
(３)若y＝１２m ,要 使
△DEF 为 等 腰 三 角 形,m 的 值 应 为
多少?
(第
１０
题)
解剖真题,体验情境.
１１．(２０１２Ű四川眉山)如图,直线y＝３x＋３
与x 轴交于点C,
与y 轴交于点A,点B 在x 轴上,△OAB 是等腰直角三
角形．
(１)求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式;
(２)若直线CD∥AB 交抛物线于点D,求点 D 的坐标;
(３)若点 P 抛物线上的动点,且在第一象限,那么
△PAB
是否 有 最 大 面 积? 若 有,求 出 此 时 点 P 坐 标 和
△PAB 的最大面积;若没有,请说明理由．
(第
１１
题)７．最大面积是多少
第
１
课时
极值应用(３)
１．C ２．１２．５
３．(１)S＝－２x２＋３４x (２)当 AB＝８．５m
时,
S 有最大值,其最大值是
１４４．５m２．
４．(１)S＝－ ３x２＋４x (２)当x＝２ ３
３ m
时,
横断面面积S 最大,最大面积是４ ３
３ m２．
５．３ ２
６．矩形的一边长为
６０－４０ ２(m),相邻边长
为
１０ ２－１０(m),
S最大
＝３００－２００ ２(m２)．
７．(１)S＝－２x２＋２x．
(２)x＝ １
２
时,矩形面积最大,最大值是 １
２
．
８．(１)S＝２x２－８x＋１６．
(２)W ＝６０×４S△AEH ＋８０(S正方形EFGN －S正方形MNPQ )＋１２０S正方形MNPQ
＝６０×４× １
２
x(４－x)＋８０[x２＋(４
－x)２－x２]＋１２０x２
＝８０(x－１)２＋１２００．
∴
当x＝１
时,W 最小值
＝１２００
元．
(３)设EM＝a米,则 MH＝(a＋１)米．
在
Rt△EMH 中,
a２＋(a＋１)２＝１２＋３２,
解得a＝－１＋ １９
２
．(负根舍去)
∴ EM 的长为 １９－１
２
米．
９．５＜m＜４＋ ７
１０．(１)y＝８x－x２
m ．
(２)当 m＝８
时,y＝８x－x２
８ ,化成顶点式为
y＝－ １
８ (x－４)２＋２．
∴
当x＝４
时,y 的值最大,最大值是
２．
(３)m 的值 为
６
或
２
时,△DEF 是 等 腰 三
角形．
１１．(１)∵ A、C 分别是直线y＝３x＋３
与y 轴和x 轴的交点,
∴ A(０,３),C(－１,０)．
又
△OAB 是等腰直角三角形,
∴ B(３,０)．
设过 A、B、C 三点抛物线角析式为y＝ax２
＋bx＋c,
∴
c＝３,
a－b＋c＝０,
９a＋３b＋c＝０．{
解得
a＝－１,
b＝２,
c＝３．{
∴ y＝－x２＋２x＋３．
(２)设直线 AB 解析式为y＝kx＋b,
∵ A(０,３),B(３,０),
∴
b＝３,
３k＋b＝０．{ 解得 k＝－１,
b＝３．{
∴
直线 AB 为y＝－x＋３．
∵ CD∥AB,
∴
设直线CD 解析为y＝－x＋b１．
∵
直线CD 过点C(－１,０),
∴ b１＝－１．
∴
直线CD 为y＝－x－１．
又
直线y＝－x－１
与抛物线y－x２＋２x
＋３
相交于点 D,
∴
y＝－x－１,
y＝－x２＋２x＋３．{
解 得 x１＝－１,
y１＝０
{ (与 点 C 重 合,舍 去 )或
x２＝４,
y２＝－５．{
∴ D(４,－５)．
(３)△PAB 有最大面积．
∵
点 P 在抛物线上,
∴
设 P(x,－x２＋２x＋３)．
过点 P 作PE⊥x 轴于点E．
S△PAB ＝S梯形AOEP ＋S△PEB －S△ADB
＝
x(３－x２＋２x＋３)
２ ＋
(３－x)(－x２＋２x＋３)
２ －
３×３
２
＝－ ３
２
x２＋ ９
２
x,
∴
当x＝ ３
２
时,S△PAB最大
＝２７
８
．
当x＝ ３
２ ,y＝－x２＋２x＋３＝１５
４ ,
∴ P(３
２ ,１５
４ )．
(第
１１
题)
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