好脾气是一个人在社交中所能穿着的最佳服饰.———都德
【例
１】(２０１２Ű全国初中数学联赛海南赛区)如图,直线x＝１是二次函数y＝ax２
＋bx＋c的图象的对称轴,则有( )．
A．a＋b＋c＝０ B．b＞a＋c
C．b＝２a D．abc＞０
【分析】∵
对称轴x＝１,
∴
顶点的横坐标为
１,
当x＝１
时,由图象可知,顶点的纵坐标为负数,即a＋b
＋c＜０,故答案
A
错误;
∵ x＝１,即
－
b
２a＝１,
∴ b＝－２a,
故答案
C
错误;
由二次函数的图象可得a＞０,b＜０,c＜０,
∴ abc＞０．故答案
D
正确;
由图象可知当x＝－１
时,a－b＋c＞０,故b＜a＋c;因此
答案
B
错误．
【解答】 D．
【例
２】(２０１２Ű全国初中数学联赛)已知抛物线y＝－ １
６
x２
＋bx＋c的顶点为P,与x 轴的正半轴交于A(x１,０),B(x２,
０)(x１＜x２)两点,与y 轴 交 于 点C,PA 是
△ABC 的 外 接 圆
的切线．设点 M ０,－ ３
２
( ) ,若AM∥BC,求抛物线的解析式．
【分析】利用公式法求出抛物线的顶点坐标,再令x＝０,
求出此时对应的y 值,即点C 的纵坐标,设
△ABC 的外接圆
的圆心为D,则点 P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上,
设点D 的坐标为(３b,m)．再利用根与系数的关系求出AE 的
值,利用射影定理和切线的性质即可求出 m 的值,进而求出
c的值,最后利用相似三角形的性质求出b的值,从而求出抛
物线的解析式．
【解答】 ∵
在 抛 物 线 y＝ － １
６
x２
＋bx＋c 中,a′＝
－ １
６ ,b′＝b,c′＝c,
∴
点 P 的横坐标为
－
b′
２a′＝３b,
纵坐标为４a′c′－b′２
４a′ ＝ ３
２
b２
＋c．
∴
点 P 的坐标为(３b,３
２
b２
＋c)．
令x＝０,则y＝c,
∴
点C(０,c),
设
△ABC 的外接圆的圆心为D,则点 P 和点D 都在线
段AB 的垂直平分线上,设点 D 的坐标为(３b,m)．
显然,x１,x２
是 一 元 二 次 方 程
－ １
６
x２
＋bx＋c＝０
的
两根,
∴ x１＝３b－ ９b２
＋６c ,x２＝３b＋ ９b２
＋６c,
又
AB 的中点E 的坐标为(３b,０),
∴ AE＝ ９b２
＋６c．
∵ PA 为
☉D 的切线,
∴ PA⊥AD,
又
AE⊥PD,
∴
由射影定理可得 AE２
＝PEŰDE,即( ９b２
＋６c)２
＝ ３
２
b２
＋c( ) Ű|m|,m＜０．
∴ m＝－６．
又
DA＝DC,得 DA２
＝DC２,
即( ９b２
＋６c)２
＋m２
＝(３b－０)２
＋(m－c)２,
把 m＝－６
代入后可解得c＝－６(另一解c＝０
舍去)．
又
AM∥BC,
∴
OA
OB＝
OM
OC ．
即３b－ ９b２
＋６c
３b＋ ９b２
＋６c＝
－ ３
２
－６
．
把c＝－６
代入,解得b＝ ５
２ (另一解b＝－ ５
２
舍去)．
∴
抛物线的解析式为y＝－ １
６
x２
＋ ５
２
x－６．
初赛题
１．(２０１２Ű全国初中数学竞赛河南赛区)已知二次函数y＝２x２
＋
bx＋１(b 为 常 数),当b 取 不 同 的 值 时,其 图 象 构 成 一 个
“抛物线系”,图中的实线型抛物线分别是b取三个不同的
值时二次函数的图象,它们的顶点在一条抛物线上(图中
虚线型抛物线),这条抛物线的解析式是( )．
(第
１
题)
A．y＝－２x２
＋１ B．y＝－ １
２
x２
＋１
C．y＝－４x２
＋１ D．y＝－ １
４
x２
＋１
２．(２０１２Ű全国初中数学竞赛广东赛区)如图所示,二次函数y＝
ax２
＋bx＋c(a≠０)的图象经过点(－１,２),且与x 轴交点
的横坐标分别为x１,x２,其中
－２＜x１＜－１,０＜x２＜１,下
列结论:
①abc＞０;②４a－２b＋c＜０;
③２a－b＜０;④b２
＋８a＞４ac．无论你怎样地表示愤怒,都不要做出任何无法挽回的事来.———培根
其中正确的有( )．
(第
２
题)
A．１
个
B．２
个
C．３
个
D．４
个
３．(２０１２Ű全国初中数学竞赛福建赛区)二次函数y＝x２
－ax＋２的图象关于x＝１
对称,则y 的最小值是
．
复赛题
４．(２０１２Ű全国初中数学竞赛湖南赛区)已知二次函数y＝x２
＋
(m＋３)x＋m＋２,当
－１＜x＜３
时,恒有y＜０;关于x 的
方程x２
＋(m＋３)x＋m＋２＝０
的两个实数根的倒数和大
于
－ ９
１０
．求 m 的取值范围．
５．(２０１２Ű全国初中数学竞赛福建赛区)抛物线y＝ax２
＋bx＋c
的图象于x 轴交于点M(x１,０),N(x２,０),且经过点A(０,
１),其中
０＜x１＜x２,过点 A 的直线l交x 轴于点C,与抛
物线交于点B(异于点 A),满足
△CAN 是等腰直角三角
形,且S△BMN ＝ ５
２
S△AMN ,求解析式．
６．(２０１２Ű全国初中数学竞赛河南赛区)如 图,在 平 面 直 角 坐 标
系中,直角梯形OABC 的顶点A、B 的坐标分别是(５,０)、
(３,２),点 D 在线段OA 上,BD＝BA,点 Q 是线段BD 上
一个动点,点 P 的坐标是(０,３),设直线 PQ 的解析式为y
＝kx＋b．
(１)求k的取值范围;
(２)当k为取值范围内的最大整数时,若抛物线y＝ax２
－
５ax 的顶点在直线PQ、OA、AB、BC 围成 的 四 边 形 内
部,求a的取值范围．
(第
６
题)奥 赛 园 地
１．A ２．D ３．１
４．①
由题意可得,方程x２＋(m＋３)x＋m＋２
＝０
与x 轴有两个交点,故有Δ＞０,即(m＋３)２－４(m＋２)＞０,解得 m≠１,又y＝x２＋(m＋３)x＋m＋２＝(x＋１)(x＋m＋２),当y＜０
时,x 可取两个范围为
－１＜x＜－m
－２
或
－m－２＜x＜－１,而由题意,得当
－１＜x＜３
时,恒有y＜０,故可得,当y＜０
时,x 的取值范围为
－１＜x
＜－m－２,得出
－m－２＞３,解得 m＜－５;
②
由题意,得方程x２＋(m＋３)x＋m＋２＝０有实数根,故有Δ≥０,即(m＋３)２－４(m＋２)≥０,解得 m 可取任意实数,
又 １x１ ＋ １x２ ＝
x１＋x２
x１x２ ＝－(m＋３)m＋２ ＞－ ９
１０,
解得
－１２＜m＜－２,综合
①②
可得
－１２＜m＜－５．
５．由条件知该抛物线开口向上,与x 轴的两个
交点在y 轴 的 右 侧,由 于
△CAN 是 等 腰 直
角三角形,故点C 在x 轴的左侧,且
∠CAN
＝９０°,故
∠ACN＝４５°,从而C(－１,０),N(１,０)．
于是直线l的方程为y＝x＋１．
设B(x３,y３),由 S△BMN ＝ ５
２
S△AMN ,知y３
＝ ５
２ ,
从而x３＝ ３
２ ,即B ３
２ ,５
２
( ) ．
综上可知,该抛物线通过点 A(０,１),
B ３
２ ,５
２
( ) ,N(１,０)．
于是
１＝c,
５
２ ＝ ９
４
a＋ ３
２
b＋c,
０＝a＋b＋c,
{
解得a＝４,b＝－５,c＝１．
故所求抛物线的解析式为y＝４x２－５x＋１．
６．(１)直线y＝kx＋b经过点P(０,３),
∴ b＝３．
∵ B(３,２),A(５,０),BD＝BA,
∴
点 D 的坐标是(１,０),
∴ BD 的解析式是y＝x－１(１≤x≤３)．
联立方程组,得 y＝x－１,
y＝kx＋３,
{
∴ x＝ ４
１－k,
∴ １≤ ４
１－k≤３,
解得
－３≤k≤－ １
３
．
(２)∵ －３≤k≤－ １
３
且k为最大整数,
∴ k＝－１．
则直线 PQ 的解析式为y＝－x＋３,又
抛 物 线 y＝ax２ －５ax 的 顶 点 坐 标 是
５
２ ,－２５a
４
( ) ．
解方程组 x＝ ５
２ ,
y＝x＋３,
{
得x＝ ５
２ ,y＝ １
２ ,
即直线 PQ 与对称轴为x＝ ５
２
的交点坐标
为 ５
２ ,１
２
( ) ,
∴ １
２ ＜－２５a
４ ＜２．
解得
－ ８
２５＜a＜－ ２
２５
．
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