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命题猜想三 不等式与线性规划
【考向解读】
不等式的性质、求解、证明及应用是每年高考必考的内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题为主.(1)主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划求最值；(2)不等式相关的知识可以渗透到高考的各个知识领域，往往作为解题工具与数列、函数、向量相结合，在知识的交汇处命题，难度中档；在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围或在解决导数问题时经常利用不等式进行求解，但难度偏高.
【命题热点突破一】不等式的解法
1．一元二次不等式的解法
先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．
2．简单分式不等式的解法
(1)>0(0(0，即x>1时，y＝，
因为t＋≥2＝4(当且仅当t＝2时取等号)，
所以y＝≤，
即y的最大值为(当t＝2，即x＝5时y取得最大值).
【点评】求条件最值问题一般有两种思路：一是利用函数单调性求最值；二是利用基本不等式.在利用基本不等式时往往都需要变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值.等号能够取得.
【命题热点突破三】简单的线性规划问题
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解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．
例3、【2016年高考北京理数】若，满足，则的最大值为（ ）
A.0 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】作出如图可行域，则当经过点时，取最大值，而，∴所求最大值为4，故选C.
【感悟提升】(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．
【变式探究】
若x，y满足约束条件则的最大值为________.
【答案】3
【解析】画出可行域如图阴影所示，
∵表示过点(x，y)与原点(0,0)的直线的斜率，
∴点(x，y)在点A处时最大.
由 得
∴A(1,3).∴的最大值为3.]
【高考真题解读】
1. 【2016高考新课标1卷】若,则( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
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2.【2016高考天津理数】设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为（ ）
（A） （B）6 （C）10 （D）17
【答案】B
【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，直线过点B时取最小值6，选B.
3.【2016高考山东理数】若变量x，y满足则的最大值是（ ）
（A）4 （B）9 （C）10 （D）12
【答案】C
【解析】不等式组表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域,表示点（x,y）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为,故选C.
4.【2016高考浙江理数】在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域
中的点在直线x+y2=0上的投影构成的线段记为AB，则│AB│=（ ）
A．2 B．4 C．3 D．
【答案】C
【解析】如图为线性区域，区域内的点在直线上的投影构成了线段
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，即，而，由得，由得，．故选C．
5.【2016年高考北京理数】若，满足，则的最大值为（ ）
A.0 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】作出如图可行域，则当经过点时，取最大值，而，∴所求最大值为4，故选C.
6.【2016年高考四川理数】设p：实数x，y满足，q：实数x，y满足 则p是q的( )
（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件 （C）充要条件 （D
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）既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】画出可行域（如图所示），可知命题中不等式组表示的平面区域在命题中不等式表示的圆盘内，故选A.
7.【2016高考新课标3理数】若满足约束条件 则的最大值为_____________.
【答案】
8.【2016高考新课标1卷】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元．
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【答案】
【解析】设生产产品、产品分别为、件,利润之和为元,那么
①
目标函数.
二元一次不等式组①等价于
②
作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.
将变形,得,平行直线,当直线经过点时, 取得最大值.
解方程组,得的坐标.
所以当,时,.
故生产产品、产品的利润之和的最大值为元.
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9.【2016高考江苏卷】 已知实数满足 ，则的取值范围是 ▲ .
【答案】
【解析】由图知原点到直线距离平方为最小值，为，原点到点距离平方为最大值，为，因此取值范围为
1.(2015·重庆卷)“x＞1”是“log (x＋2)＜0”的( )
A.充要条件 B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由x＞1x＋2＞3 log (x＋2)＜0，log (x＋2)＜0x＋2＞1x＞－1，故“x＞1”是“log(x＋2)＜0”成立的充分不必要条件.因此选B.
答案 B
2.(2015·北京卷)若x，y满足则z＝x＋2y的最大值为( )
A.0 B.1 C. D.2
解析 可行域如图所示.目标函数化为y＝－x＋ z，当直线y＝－x＋ z过点A(0，1)时，z取得最大值2.
答案 D
3.(2015·陕西卷)设f(x)＝ln x，0＜a＜b，若p＝f ()，q＝f ，r＝(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是( )
A.q＝r＜p B.q＝r＞p
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C.p＝r＜q D.p＝r＞q
解析 ∵0＜a＜b，∴＞，
又∵f(x)＝ln x在(0，＋∞)上为增函数，
故f＞f()，即q＞p.
又r＝(f(a)＋f(b))＝(ln a＋ln b)
＝ln a＋ln b＝ln(ab)＝f()＝p.
故p＝r＜q.选C.
答案 C
4.(2015·全国Ⅰ卷)若x，y满足约束条件则的最大值为________.
解析 约束条件的可行域如图，由＝，则最大值为3.
答案 3
5.(2015·四川卷)如果函数f(x)＝(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间上单调递减，那么mn的最大值为( )
A.16 B.18 C.25 D.
解析 令f′(x)＝(m－2)x＋n－8＝0，∴x＝－，
当m＞2时，对称轴x0＝－，
由题意，－≥2，∴2m＋n≤12，
∵≤≤6，
∴mn≤18，由2m＋n＝12且2m＝n知m＝3，n＝6，
当m＜2时，抛物线开口向下，
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由题意－≤，即2n＋m≤18，
∵≤≤9，∴mn≤，
由2n＋m＝18且2n＝m，
得m＝9(舍去)，∴mn最大值为18，选B.
答案 B
6.(2015·山东卷)已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝( )
A.3 B.2 C.－2 D.－3
答案 B
7.(2015·天津卷)设x∈R，则“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由|x－2|＜1得1＜x＜3，由x2＋x－2＞0，得x＜－2或x＞1，而1＜x＜3
x＜－2或x＞1，而x＜－2或x＞11＜x＜3，所以，“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的充分而不必要条件，选A.
答案 A
8.(2015·广东卷)若变量x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最小值为( )
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A. B.6 C. D.4
解析 不等式组所表示的可行域如下图所示，
由z＝3x＋2y得y＝－x＋，依题意当目标函数直线l：y＝－x＋经过A时，z取得最小值，即zmin＝3×1＋2×＝，故选C.
答案 C
9.(2015·浙江卷)已知函数f(x)＝则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________.
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