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2.1 曲线与方程
课时过关·能力提升
1.已知动点A在圆x2+y2=1上移动,则点A与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是( )
A.(x+3)2+y2=1
B.(x-3)2+y2=1
C.(2x-3)2+4y2=1
D.(2x+3)2+4y2=1
解析:设A,B连线的中点的坐标为(x,y),则动点A为(2x-3,2y),
因为动点A在圆x2+y2=1上,
所以(2x-3)2+(2y)2=1,
即(2x-3)2+4y2=1.
答案:C
2.“点M在曲线y2=8x上”是“点M的坐标满足方程y=-
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:B
3.已知曲线y=x2-x+2和y=x+m有两个不同的交点,则( )
A.m∈R B.m∈(-∞,1)
C.m=1 D.m∈(1,+∞)
解析:已知条件可转化为联立后的方程组有两个不同的解.
答案:D
4.下列方程中表示相同曲线的一对方程是( )
A.x
B.y=x
C.y
D.y=x与x2-y2=0
答案:C
5.平面内与定点(-1,2)和直线3x+4y-5=0的距离相等的点的轨迹是 .
解析:因为(-1,2)在直线3x+4y-5=0上,
所以满足条件的点的轨迹是过定点(-1,2)且垂直于3x+4y-5=0的直线.
答案:直线
6.方程(x+y-1
解析:由方程(x+y-1x+y-1=0(x≥1)或x=1.
答案:直线x=1或直线x+y-1=0(x≥1)
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7.(1)方程 (x-1)2
(2)方程(x-1)
解析:(1)∵(x-1)2
(1,0).
(2)∵(x-1)
∴x-1=0或x2+y2-1=0,即方程表示的图形是直线x-1=0或圆x2+y2-1=0.
答案:(1)点(1,0) (2)直线x-1=0或圆x2+y2-1=0
★8.已知动点P在曲线2x2-y=0上移动,求点A(0,-1)与点P连线中点的轨迹方程.
解:设AP的中点坐标为(x,y),
则P(2x, 2y+1)在2x2-y=0上,
即2(2x) 2-(2y+1)=0,
整理,得2y=8x2-1.
9.点A(3,0)为圆x2+y2=1外一点,P为圆上任意一点,若AP的中点为M,当P在圆上运动时,求点M的轨迹方程.
分析:设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),由题意可
所.
解:由题意设点M(x,y),P(x0,y0),
所
又因为点P(x0,y0)在圆x2+y2=1上,
所以(2x-3)2+4y2=1,
所
故点M的轨迹方程
★10.若直线x+y-m=0被曲线y=x2所截得的线段长为
分析:直线与曲线交于两点,可设出这两点的坐标,然后灵活应用根与系数的关系求解.
解:设直线x+y-m=0与曲线y=x2相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,联立直线与曲线方程,
将②代入①,得x2+x-m=0,
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所
所以|AB|·|x1-x2|
所m的值为2.
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