由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
2.3.2 双曲线的几何性质
课时过关·能力提升
1.如果双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,那么它的离心率为( )
A
C.2 D.3
解析:因为双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,所以4b=2a+2c,即a+c=2b,再由a2+b2=c2即可求得离心率e
答案:B
2.已知双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距
A
C
解析:由方程
得a=2,b=2.
因为双曲线的焦点在y轴上,
所以双曲线的标准方程
答案:B
3.过点(2,-2)且
A.
C.
解析:由题意可设双曲线方程∈R,且k≠0),又双曲线过点(2,-2),代入即可求得k,
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
从而求出双曲线方程
答案:A
4.已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P是双曲线右支上一点,且△F1PF2是等腰直角三角形,则双曲线C的离心率为( )
A.1
C.3
解析:因为△F1PF2为等腰直角三角形,又|PF1|≠|PF2|,故必有|F1F2|=|PF2|,
即2cc2-2ac-a2=0,
即e2-2e-1=0,
解:之,得e=1
∵e>1,∴e=1
答案:A
★5.已知双曲线9y2-m2x2=1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:双曲线9y2-m2x2=1(m>0),一个顶点3y-mx=0.
由题意m=4.
答案:D
6.双曲
解析:利用公式y=y=
答案:y=
7.已知双曲
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
解析:因为椭(±4,0),
所以双曲线的焦点坐标为(±4,0),即c=4.
所以a=2,b2=12,
所以双曲线方程
所以渐近线方程为y=
答案:(±4,0)
8.若双曲
解析:利用双曲线的定义及离心率公式,可求得k=-31.
答案:-31
9.根据以下条件,分别求出双曲线的标准方程:
(1)过点P(3,
(2)焦点在x轴上,F1,F2是双曲线的左、右焦点,P是双曲线上的一点,∠F1PF2=60°
解:(1)若双曲线的焦点在x轴上,
.
由e
由点P(3,,
又a2+b2=c2, ③
由①②③,得a2=1,b2
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
所求双曲线方程为x2
若双曲线的焦点在y轴上,.
同理
解之,得b2=).
故所求双曲线的标准方程为x2
(2)设双曲线的标准方程为
因为|F1F2|=2c,
而e
由双曲线的定义,得||PF1|-|PF2||=2a=c.
由余弦定理,得
(2c)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2
=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|·(1-cos 60°),
所以4c2=c2+|PF1|·|PF2|.
又因·|PF2|·sin 60°=1
所以|PF1|·|PF2|=48.
所以3c2=48,即c2=16,
由此得a2=4,b2=12.
故所求双曲线的标准方程
★10.如图所示,已知F1,F2为双曲∠PF1F2=30°.求双曲线的渐近线方程.
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
分析:由于双曲y=,可以通过已知解Rt△F1F2P求得.
解法一设F2(c,0)(c>0),把P(c,y0)代入方程得y0=
∴|PF2|Rt△F1F2P中,∠PF1F2=30°,
∴|F1F2|2c
∵c2=a2+b2,∴b2=2a2.
故所求双曲线的渐近线方程为y=
解法二∵在Rt△PF1F2中,∠PF1F2=30°,
∴|PF1|=2|PF2|.
由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2a,
∴|PF2|=2a.∴|F1F2|
∴2c=c2=3a2=a2+b2.∴2a2=b2.
故所求双曲线的渐近线方程为y=
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
微信/支付宝扫码支付