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3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程
3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示
课时过关·能力提升
1.已知O(0,0,0),M(5,-1,2),A(4,2,-1),
A.(-1,3,-3) B.(9,1,1)
C.(1,-3,3) D.(-9,-1,-1)
解析:设点B的坐标为(x,y,z),(5,-1,2)=(x-4,y-2,z+1),可得点B(9,1,1).
答案:B
2.设l1的方向向量为a=(1,3,7),l2的方向向量为b=(3,x,3y),若l1∥l2,则x,y的值分别是( )
A.9,21 B.9,7
C.3,21 D.3,7
解析:a∥b⇔x,y的值分别是9,7.
答案:B
3.已知直线l1的方向向量a=(2,4,x),直线l2的方向向量b=(2,y,2),若|a|=6,且a⊥b,则x+y的值是( )
A.-3或1 B.3或-1
C.-3 D.1
解析:∵|a|
∴x=4或-4.
∵a·b=2×2+4×y+2×x=0,
∴x=4时,y=-3;x=-4时,y=1,
∴x+y=1或x+y=-3.
答案:A
4.已知直线l的方向向量为v=(1,0,2),平面α的法向量为u=(-4, 5,2),则l与α的关系是( )
A.l⊥α B.l∥α
C.l⊂α D.l∥α或l⊂α
解析:因为v·u=0,所以l∥α或l⊂α.
答案:D
★5.已知平面α过点A(1,-1,2),其法向量n=(2,-1,2),则下列点在α内的是( )
A.(2,3,3) B.(3,-3,4)
C.(-1,1,0) D.(-2,0,1)
解析:设M(x,y,z)为平面内一点,
·n=0,即2(x-1)-(y+1)+2(z-2)=0.
又A项中坐标满足上式,故选A.
答案:A
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6.已知A,B,P三点共线,对空间任一点O
答案:1
7.已知直线l的方向向量v=(2,-1,3),且过A(0,y,3)和B(-1,2,z)两点,则y= ,z=.
解析:因∥v,
所
解得y
答案:
8.Rt△ABC的斜边BC在平面α内,顶点A在平面α外,则△ABC的两条直角边在平面α内的射影与斜边所成的图形可能是 .
答案:一条线段或一个钝角三角形
9.已知在正方体ABCD - A'B'C'D'中,点M,N分别是棱BB'与对角线A'C的中点,求证:MN⊥BB',MN⊥A'C.
证明:不妨设已知正方体的棱长为1,以A为坐标原x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由已知条件
因
所以MN⊥A'C.MN⊥BB'.
★10.在棱长为1的正方体ABCD - A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB和BC的中点,试在棱B1B上找一点M,使得D1M⊥平面EFB1.
解:以D为坐标原x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
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有A(1,0,0),B1(1,1,1),C(0,1,0),D1(0,0,1),M(1,1,m),
∵D1M⊥平面EFB1,
∴m
故取B1B的中点M,能满足D1M⊥平面EFB1.
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