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3.2.5 距离(选学)
课时过关·能力提升
1.在三棱锥P - ABC中,AB=8,AC=6,∠BAC=90°,PA=PB=PC=13,则点P到平面ABC的距离为( )
A.12 B.6
C.
解析:设BC的中点为D,则由已知可证∠PDB=∠PDC=∠PDA=90°,PD⊥平面ABC,PD就是所求距离,在Rt△ABC中,DAPD
答案:A
2.半径为R的球面上有A,B,C三点,其中A和B及A和C的球面距离都
A
C
解析:如图,由题知∠AOB=∠AOC=90°,∠BOC=60°,OA=OB=OC=R,在Rt△AOD中,高OH即为所求.
利用VA - OBC=VO - ABC,得
·R·OH,
∴OH
答案:C
3.已知A,B两点到平面α的距离分别为1和2,线段AB在α内的射影线段长
A
C
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解析:按照A,B两点在平面α的同侧和异侧分别讨论.
答案:C
4.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是平面A1B1C1D1的中心,则O到平面ABC1D1的距离是( )
A
解析:建立坐标系如图,则A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),
设n=(1,y,z)是平面ABC1D1的一个法向量,则
y=0,z=1,
∴n=(1,0,1).
∴点O到平面ABC1D1的距离
答案:B
★5.在长方体ABCD - A1B1C1D1中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点A1到截面AB1D1的距离为( )
A
C
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解析:利A1到截面AB1D1的距离
答案:C
6.在棱长为1的正方体ABCD - A1B1C1D1中,E,F分别为棱B1C1和C1D1的中点,则直线EF到平面B1D1D的距离为 .
解析:设B1D1中点为O,EF中点为K,则KO即为EF到平面B1D1D的距离,KO
答案:
7.已知Rt△ABC的直角顶点C在平面α内,AB∥α,AC,BC与α所成的角分别为45°和30°,若AB=6,则AB到α的距离为 .
解析:设AB到α的距离为h,则CBAB2=AC2+CB2可h
答案:
★8.在三棱锥P - ABC中,侧棱PA,PB,PC两两垂直,且PA=PB=PC=2,则点P到平面ABC的距离等于 .
答案:
9.在三棱锥B-ACD中,平面ABD⊥平面ACD,若棱长AC=CD=AD=AB=1,且∠BAD=30°,求点D到平面ABC的距离.
解:如图所示,以AD的中点O为原点,以OD,OC所在直线为x轴、y轴,过O作OM⊥平面ACD交AB于点M,以直线OM为z轴建立空间直角坐标系,
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设n=(x,y,z)为平面ABC的一个法向量,
∴y=n=(
代入dd
即点D到平面ABC的距离
★10.在正方体ABCD - A1B1C1D1中,E,F,G分别在棱AB,CC1,D1A1上,且正方体的棱长为a,AE=CF=D1G=b.
(1)求证:DB1⊥平面EFG;
(2)求B1到平面EFG的距离.
分析:在正方体中建立空间直角坐标系较为方便,可建立坐标系求平面的法向量,用向量法证明线面垂直,求点面距离.
(1)证明:如图,以D为坐标原点,分别以直线DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),B1(a,a,a),E(a,b,0),F(0,a,b),G(b,0,a).
所
所
所以DB1⊥EF,DB1⊥FG.而EF∩FG=F,
所以DB1⊥平面EFG.
(2B1到平面EFG的距离为d,则d
所以点B1到平面EFG的距离
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