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3.2.3 直线与平面的夹角
3.2.4 二面角及其度量
课时过关·能力提升
1.在正三棱柱ABC - A1B1C1中,AB=AA1,则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为( )
A
解析:设BC的中点为D,则AD⊥平面BB1C1C,故∠AC1D就是AC1与平面BB1C1C所成的角.在Rt△ADC1中,ADsin∠AC1D
答案:C
2.已知AB⊥平面α于B,BC为AC在α内的射影,CD在α内,若∠ACD=60°,∠BCD=45°,则AC和平面α所成的角为( )
A.90° B.60° C.45° D.30°
解析:设AC和平面α所成的角为θ,则cos 60°=cos θcos 45°,故cos θθ=45°.
答案:C
3.一个二面角的两个面分别平行于另一个二面角的两个面,那么这两个二面角( )
A.相等 B.互补
C.关系无法确定 D.相等或互补
答案:D
4.在边长为a的正三角形ABC中,AD⊥BC于D,沿AD折成二面角B - AD - C后,BC
A.30° B.45° C.60° D.90°
解析:∠BDC就是二面角B - AD - C的平面角,
易知△BCD为等边三角形,则∠BDC=60°.
答案:C
★5.过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD,若AB=PA,则面APB和面CDP所成二面角的度数是 ( )
A.90° B.60° C. 45° D. 30°
解析:∠APD就是面APB和面CDP所成二面角的平面角.
答案:C
6.已知直线l的方向向量v=(1,-1,-2),平面α的法向量u=(-2,-1,1),则l与α的夹角为 .
解析:cos
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∴sin θl与α的夹角).∴θ=30°.
答案:30°
7.等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内,若AC与α成30°角,则斜边上的中线CM与平面α所成的角为 .
解析:作CD⊥α于D,连接DA,DB,DM,则∠CAD=30°,CDsin∠CMD∠CMD=45°,即CM与平面α所成的角为45°.
答案:45°
★8.若P是△ABC所在平面外一点,且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形,PA
解析:设BC的中点为D,连接PD,AD,则PD⊥BC,AD⊥BC,所以∠PDA就是二面角P - BC - A的平面角.易知∠PDA=90°.
答案:90°
9.在三棱锥P - ABC中,侧面PAC与底面ABC垂直,PA=PB=PC=3,AB=BC=
分析:本题可以建立适当坐标系,利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角来求.
解:由题意PA=PB=PC,点P在△ABC内的射影O为△ABC的外心,即点P在△ABC内的射影O到点A,B,C的距离相等,又面PAC⊥面ABC,所以O为AC的中点,且∠ABC=90°,以O为原x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz,则P(0,0
设n=(x,y,z)为面PBC的法向量,可求得n=
设AC与平面PBC所成的角为θ,
则sin θ=|cos
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