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3.1.4 空间向量的直角坐标运算
课时过关·能力提升
1.已知点B是点A(3,7,-4)在xOz平面上的射影,则
A.(9,0,16) B.25
C.5 D.13
解析:由题意,得B(3,0,-4),
∴
答案:B
2.已知A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则AB的中点M到点C的距离
A
解析:由题意,
所
答案:C
3.已知a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则以a,b为邻边的平行四边形的面积为( )
A
C.4 D.8
解析:∵|a|b|=3,
∴cosa,b>
∴S=|a||b|sin
答案:A
4.已知a=(cos α,1,sin α),b=(sin α,1,cos α),则a+b与a-b的夹角是( )
A.90° B.60° C.30° D.0°
解析:(a+b)·(a-b) =a2-b2=cos2α+12+sin2α-(sin2α+12+cos2α)=0,故a+b与a-b的夹角是90°.
答案:A
★5.已知a=(2,4,5),b=(3,x,y),若a∥b,则( )
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A.x=6,y=15 B.x=3,y
C.x=3,y=15 D.x=6,y
解析:a∥b⇔
答案:D
6.已知在平行六面体ABCD - A1B1C1D1中a=(2,1,- 1)b=(1,-2,1)c=(1,1,1),则
解析:a+b+c=(2,1,-1)+(1,-2,1)+(1,1,1)=(4,0,1),
∴
答案:
7.已知三点P1(-x, 1,-3),P2(2,y,-1),P3(-3,0,z),
解析:由已知条件得,
(-3+x,0-1,z+3)
解得x=6,y=
答案:6
8.已知点A(1,0,0),B(3,1,1),C(2, 0,1),ab,则= .
解析:由题中条件得
a=(-1,-1,0),b=(-1,0,-1).
故cos
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所以=60°.
答案:60°
9.设空间两个单位向∠AOB.
解:由题意
解得n
故cos∠AOB
★10.在正方体ABCD - A1B1C1D1中,M是AA1的中点,问当点N位于AB何处时,MN⊥MC1?
解:以A为坐标原点,棱AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为a,
所
因为MN⊥MC1,
所x
所以点N的坐标N为AB的四等分点且靠近点A时,MN⊥MC1.
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