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2.5 直线与圆锥曲线
课时过关·能力提升
1.若椭
A.2 B.-2 C
解析:设弦两端点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8,y1+y2=4,
①-②得
所以所求直线的斜率
答案:D
2.已知椭圆x2+2y2=4,则以(1,1)为中点的弦的长度为 ( )
A.
C
解析:依题设弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=2,y1+y2=2,
所
此弦的斜率k
所以此弦所在的直线方程为y-1=
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即y=
代入x2+2y2=4,整理得3x2-6x+1=0,
所以x1x2
所以|AB|
答案:C
3.已知双曲
A.(1
B.(1
C.
D.
解析:双曲线过第一、三象限的渐近线的斜率k
要使双曲y=2x有交点,
只要满,
∴e
答案:C
4.已知双曲线的中心在原点,且一个焦点为F
A
B
C
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D
解析:由ca2+b2=7.
∵焦点为F
∴可设双曲线方程
并设M(x1,y1),N(x2,y2).
将y=x-1代入①并整理得
(7-2a2)x2+2a2x-a2(8-a2)=0,
∴x1+x2=
由已知a2=2,
故双曲线的方程
答案:D
★5.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是( )
A
C.[-1,1] D.[-4,4]
解析:由已知,得直线l的方程为y=k(x+2),与抛物线方程联立方程组,整理得ky2-8y+16k=0.当k=0时,直线与抛物线有一个交点.当k≠0时,由Δ=64-64k2≥0,解得-1≤k≤1.所以-1≤k≤1,k≠0.综上得-1≤k≤1.
答案:C
6.直线l过抛物线y2=ax的焦点,并且垂直于x轴,若直线l被抛物线截得的线段长为4,则a= .
解析:抛物线y2=ax的焦点l与抛物线的两个交点坐标
所a=±4.
答案:±4
7.已知椭圆C
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解析:由题意
答案:
8.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.如果直线AF的斜率为
解析:直线AF的方程为:y=
当x=-2时,y=
当y=,代入y2=8x中,得x=6,
∴P(6,
答案:8
9.在椭圆x2+4y2=16中,求通过点M(2,1)且被这点平分的弦所在的直线方程和弦长.
分析:题目中涉及弦的中点,既可以考虑中点坐标公式,又可以考虑平方差公式.
解:当直线斜率不存在时,M不可能为弦的中点,
所以可以设直线方程为y=k(x-2)+1,代入椭圆方程,消去y,得
(1+4k2)x2-(16k2-8k)x+16k2-16k-12=0.
显然1+4k2≠0,Δ=16(12k2+4k+3)>0,
由x1+x2k=
故所求弦所在的直线方程为x+2y-4=0.
x,得y2-2y=0,
∴y1=0,y2=2.
∴弦
★10.求k的取值范围,使直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1至多有一个公共点.
分析:将y=kx+1代入双曲线方程得关于x的方程,讨论该方程解的个数即可.
解:联立直线与双曲线方y得(1-k2)x2-2kx-2=0.
当1-k2=0,即k=±1时,
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解得x=∓1;
当1-k2≠0,即k≠±1时,Δ=4k2+8(1-k2)=8-4k2.
由Δ=0得k=
由Δ
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