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3.1.3 两个向量的数量积
课时过关·能力提升
1.|a+b|=|a-b|的充要条件是( )
A.a=0或b=0 B.a∥b
C.a·b=0 D.|a|=|b|
答案:C
2.下列式子正确的是( )
A.|a|·a=a2
B.(a·b)2=a2·b2
C.(a·b)c=a(b·c)
D.|a·b|≤|a|·|b|
答案:D
3.在空间四边形OABC中,OB=OC,∠AOB=∠AOC
A
解析:
∴cos
答案:D
4.设A,B,C,D是空间不共面的四点,且满△BCD是( )
A.钝角三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.不确定
解析:
∠DBC为锐角,
同理可得∠BCD,∠BDC均为锐角.
答案:B
★5.若|a|=1,|b|=2,c=a+b,且c⊥a,则向量a与b的夹角是( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
解析:∵c⊥a,∴c·a=(a+b)·a=0,可得a·b=-1,
∴cos
故向量a与b的夹角是120°.
答案:C
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6.已知|a|=|b|=|c|=1,a·b=b·c=c·a=0,则|a+b+c|= .
解析:因为|a+b+c|2=(a+b+c) 2
=|a|2+|b|2+|c|2+2(a·b+b·c+a·c)=3,
所以|a+b+c|
答案:
7.已知a≠c,b≠0,a·b=b·c,且d=a-c,则= .
解析:∵a·b=b·c,∴(a-c)·b=0,
∴b⊥d.故=90°.
答案:90°
8.已知向量a,b之间的夹角为30°,|a|=3,|b|=4,求a·b,a2,b2,(a+2b)·(a-b).
分析:利用向量数量积的定义、性质及运算律.
解:a·b=|a||b|cos=3×4×cos 30°=
a2=a·a=|a|2=9,
b2=b·b=|b|2=16,
(a+2b)·(a-b)=a2+a·b-2b2=9+=.
★9.在正方体ABCD - A1B1C1D1中,求异面直线A1B与AC所成的角.
分析:选,先coscos
解:不妨设正方体的棱长为1abc,则|a|=|b|=|c|=1,a·b=b·c=c·a=0.
a-ca+b,
a-c)·(a+b)=|a|2+a·b-a·c-b·c=1.
∈[0,π],∴
故异面直线A1B与AC所成的角
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