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2.4.1 抛物线的标准方程
课时过关·能力提升
1.抛物线y2=12x的焦点坐标是( )
A.(12,0) B.(6,0) C.(3,0) D.(0,3)
答案:C
2.经过点(2,-3)且焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程是( )
A.y2
C.y2=
答案:B
3.抛物线y2
A.x
C.x=
答案:D
4.已知圆(x-a)2+(y-b)2=r2的圆心为抛物线y2=4x的焦点,且该圆与直线3x+4y+2=0相切,则该圆的方程为( )
A.(x-1)2+y2
B.x2+(y-1)2
C.(x-1)2+y2=1
D.x2+(y-1)2=1
答案:C
★5.已知点P是抛物线y2=16x上的点,它到焦点的距离h=10,则它到y轴的距离d等于( )
A.3 B.6
C.9 D. 12
解析:设点P到抛物线y2=16x的准线的距离为l.由抛物线y2=16x
由抛物线定义知l=h,
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又l=dd=l
答案:B
6.抛物线x=2y2的焦点坐标是 .
答案:
7.动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点P的轨迹方程为 .
答案:y2=8x
8.抛物线x-4y2=0的准线方程是 .
答案:x=
9.若抛物线y2=2px(p>0)上有一点M,其横坐标为9,它到焦点的距离为10,求抛物线方程和点M的坐标.
解:由抛物线定义知,焦点x=
由题意,设点M到准线的距离为d,
则d=|MF|=10,即9p=2.
故抛物线方程为y2=4x.
将M(9,y)代入y2=4x,解得y=±6,
则点M的坐标为(9,6)或(9,-6).
★10.已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴的正半轴上,设A,B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴),且|AF|+|BF|=8,线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6,0),求抛物线的方程.
解:设抛物线的方程为y2=2px(p>0),
则其准线为x=
设A(x1,y1),B(x2,y2),
因为|AF|+|BF|=8,
所以x1x1+x2=8-p.
因为Q(6,0)在线段AB的垂直平分线上,
所以|QA|=|QB|,
因
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所以(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0.
因为AB与x轴不垂直,
所以x1≠x2,
则x1+x2-12+2p=8-p-12+2p=0,
即p=4.
故抛物线方程为y2=8x.
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