第五章 四边形
第一节 平行四边形与多边形
姓名：________ 班级：________ 限时：______分钟
1．(2018·云南省卷)一个五边形的内角和为( )
A．540° B．450° C．360° D．180°
2．(2018·北京)若正多边形一个外角是60°，则该正多边形的内角和为( )
A．360° B．540° C．720° D．900°
3．(2018·安徽)▱ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是( )
A．BE＝DF B．AE＝CF
C．AF∥CE D．∠BAE＝∠DCF
4．(2018·玉林)在四边形ABCD中，①AB∥CD，②AD∥BC，③AB＝CD，④AD＝BC，从以上选择两个条件使四边形ABCD是平行四边形的选法共有( )
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
5．(2017·宜昌)如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是( )
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
6．(2018·海南)如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长为( )
A．15 B．18 C．21 D．24
7．(2018·宁波)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连接OE，若∠ABC＝60°，∠BAC＝80°，则∠1的度数为( )
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A. 50° B. 40° C. 30° D. 20°
8．(2018·兰州)如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F.若∠ABD＝48°，∠CFD＝40°，则∠E为( )
A. 102° B. 112° C. 122° D. 92°
9．(2018·三明质检)如图，在正八边形ABCDEFGH中，连接AC，AE，则的值是( )
A. B. C. D．2
10．(2018·宁德质检)小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了一个内角，结果得到的总和是800°，则少算了这个内角的度数为____________．
11．(2018·陕西)如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为__________.
12．(2018·山西)图①是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美，图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝______度．
图① 图②
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13.(2018·泰州)如图，▱ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD＝6，AC＋BD＝16，则△BOC的周长为________．
14．(2018·临沂)如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，AC⊥BC.则BD＝________．
15．(2018·衡阳) 如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M，△CDM的周长为8，那么▱ABCD的周长是________．
16．(2018·漳州质检)如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，EF＝2，∠DEF＝60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到四边形EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为________．
17．(2018·南平质检)如图，A，B，D三点在同一直线上，△ABC≌△BDE，其中点A，B，C的对应点分别是B，D，E，连接CE.求证：四边形ABEC是平行四边形．
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18. (2018·无锡)如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、AD的中点，
求证：∠ABF＝∠CDE.
19．(2018·厦门质检)如图，在▱ABCD中，E是BC延长线上的一点，且DE＝AB，连接AE，BD.证明：AE＝BD.
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20. (人教八下P50第10题改编)如图，四边形BEDF是平行四边形，延长BF、DE至点C、A，使得BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
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21．(2018·孝感)如图， B，E ，C ，F 在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，连接AD .求证：四边形ABED是平行四边形．
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22．(2018·福建模拟)如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，延长BE交CD的延长线于F.
(1)若∠F＝20°，求∠A的度数；
(2)若AB＝5，BC＝8，CE⊥AD，求▱ABCD的面积．
23.已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF.
求证：(1)△ADF≌△CBE；
(2)EB∥DF.
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24．(2018·永州)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F.
(1)求证：四边形BCFD为平行四边形；
(2)若AB＝6，求平行四边形BCFD的面积．
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1．(2019·原创)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是( )
A. 5 B. 6 C. 12 D. 13
2．(2018·陕西)如图，点O是▱ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F是AB边上的点，且EF＝AB；G、H是BC边上的点，且GH＝BC.若S1、S2分别表示△EOF和△GOH的面积，则S1与S2之间的等量关系是________．
3．(2017·南充)如图，在▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG＝2BG，S△BPG
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＝1，则S▱AEPH＝________．
4．(2018·曲靖)如图：在平行四边形ABCD的边AB，CD上截取AF，CE，使得AF＝CE，连接EF，点M，N是线段上两点，且EM＝FN，连接AN，CM.
(1)求证：△AFN≌△CEM；
(2)若∠CMF＝107°，∠CEM＝72°，求∠NAF的度数．
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5．(2018·大庆)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F.
(1)证明：四边形CDEF是平行四边形；
(2)若四边形CDEF的周长是25 cm，AC的长为5 cm，求线段AB的长度．
6．(2018·黄冈)如图，在▱ABCD中，分别以边BC，CD作等腰△BCF，△CDE，使BC＝BF，CD＝DE，∠CBF＝∠CDE，连接AF，AE.
(1)求证：△ABF≌△EDA；
(2)延长AB与CF相交于G.若AF⊥AE，求证：BF⊥BC.
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参考答案
【基础训练】
1．A 2.C 3.B 4.B 5.B 6.A 7.B 8.B 9.B
10．100° 11.72° 12.360 13.14 14.4 15.16 16.6
17．证明： ∵△ABC≌△BDE，
∴∠DBE＝∠A，BE＝AC，
∴BE∥AC，
又∵BE＝AC，
∴四边形ABEC是平行四边形．
18．证明：∵四边形ABCD为平行四边形 ，
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∴AB＝CD，AD＝BC，∠C＝∠A，
∵E、F分别是边BC、AD的中点，
∴CE＝BC, AF＝AD，∴AF＝CE，
∴△ABF≌△CDE(SAS)，
∴∠ABF＝∠CDE.
19．证明： ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC.
∵DE＝AB，∴DE＝DC.∴∠DCE＝∠DEC.
∵AB∥DC，∴∠ABC＝∠DCE.∴∠ABC＝∠DEC.
又∵AB＝DE，BE＝EB，
∴△ABE≌△DEB.∴AE＝BD.
20．证明：∵四边形BEDF是平行四边形，
∴DE∥BF，∠EBF＝∠EDF.
BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线，
∴∠ABE＝∠EBF＝∠ADF＝∠CDF，
∴∠ABC＝∠ADC.
∵DE∥BF，
∴∠AEB＝∠EBF，∠ADF＝∠CFD，
∴∠AEB＝∠ABE＝∠CDF＝∠CFD，
∴∠A＝180°－∠AEB－∠ABE，
∠C＝180°－∠CDF－∠CFD，
∴∠A＝∠C，
∴四边形ABCD是平行四边形．
21．证明：∵AB∥DE ，∴∠B＝∠DEF，
∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F，
∵BE＝CF，∴BE＋CE＝CF＋CE，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
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∴△ABC≌△DEF(ASA)，∴AB＝DE，∵ AB∥DE，
∴四边形ABED是平行四边形．
22．解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABE＝∠F＝20°，
∵∠ABC的平分线交AD于点E，
∴∠ABE＝∠CBF，∴∠AEB＝∠ABE＝20°，
∴∠A＝180°－20°－20°＝140°；
(2)∵∠AEB＝∠ABE，∴AE＝AB＝5，AD＝BC＝8，CD＝AB＝5，
∴DE＝AD－AE＝3，
∵CE⊥AD，∴CE＝＝＝4，
∴▱ABCD的面积为AD·CE＝8×4＝32.
23．证明：(1)∵AE＝CF，
∴AE＋EF＝CF＋FE，即AF＝CE.
又四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥BC.
∴∠DAF＝∠BCE.
在△ADF与△CBE中，
∴△ADF≌△CBE(SAS)．
(2)∵△ADF≌△CBE，
∴∠DFA＝∠BEC.
∴EB∥DF.
24．(1)证明：∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝∠BAD＝60°，又∠CAB＝30°，
∴∠CAD＝∠CAB＋∠BAD＝30°＋60°＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAD＋∠ACB＝90°＋90°＝180°，
∴BC∥AD.
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
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∵E是线段AB的中点，
∴CE＝AE，∴∠ACE＝∠CAB，
∵∠CAB＝30°，
∴∠ACE＝∠CAB＝30°，
∴∠BEC＝∠ACE＋∠CAB＝30°＋30°＝60°，
∵∠ABD ＝60°，
∴∠ABD ＝∠BEC，
∴BD∥CE，又BC∥AD，∴四边形BCFD为平行四边形；
(2)解：过B作BG⊥CF，垂足为G，
∵AB＝6，点E是线段AB的中点，
∴BE＝3，
在Rt△BEG中，∠BEG＝60°，
∴BG＝BE·sin∠BEG＝3×sin60°＝.
∵△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝6，
∴平行四边形BCFD的面积为BD·BG＝6×＝9.
【拔高训练】
1．A 2.S1＝S2
3．4 【解析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AB＝CD，AD＝BC，又知EF∥BC，GH∥AB，因而得到四边形BEPG、四边形GPFC、四边形PHDF、四边形AEPH都是平行四边形．根据平行四边形的对角线将平行四边形分成两个全等的三角形，得到S△ABD＝S△CBD，S△PHD＝S△PFD，S△BPG＝S△BEP，从而得出S▱AEPH＝S▱GPFC，又CG＝2BG，∴S▱GPFC＝2S▱BGPE＝4S△BPG＝4.∴S▱AEPH＝4.
4．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠AFN＝∠CEM，
∵FN＝EM，AF＝CE，
∴△AFN≌△CEM(SAS)．
(2)解：∵△AFN≌△CEM，
∴∠NAF＝∠ECM，
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∵∠CMF＝∠CEM＋∠ECM，
∴107°＝72°＋∠ECM，
∴∠ECM＝35°，
∴∠NAF＝35°.
5．(1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，
∴ED是Rt△ABC的中位线，
∴ED∥FC，BC＝2DE，
又 EF∥DC，∴四边形CDEF是平行四边形．
(2)解：∵四边形CDEF是平行四边形，
∴DC＝EF，
∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴AB＝2DC，
∴四边形DCFE的周长＝AB＋BC，
∵四边形DCFE的周长为25 cm，AC的长为5 cm，
∴BC＝25－AB，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AB2＝BC2＋AC2，即AB2＝(25－AB)2＋52，
解得，AB＝13 cm.
6．证明： (1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠ABC＝∠ADC，
∵BC＝BF，CD＝DE，
∴BF＝AD，AB＝DE，
∵∠ADE＋∠ADC＋∠EDC＝360°，
∠ABF＋∠ABC＋∠CBF＝360°，∠EDC＝∠CBF，
∴∠ADE＝∠ABF，
∴△ABF≌△EDA.
(2)延长FB交AD于H，如解图，
∵AE⊥AF，
∴∠EAF＝90°，
∵△ABF≌△EDA，
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∴∠EAD＝∠AFB，
∵∠EAD＋∠FAH＝90°，
∴∠FAH＋∠AFB＝90°，
∴∠AHF＝90°，即FB⊥AD，
∵AD∥BC，
∴FB⊥BC.
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