第三节 特殊三角形
姓名：________ 班级：________ 限时：______分钟
1．(2019·原创)一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形一定是( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形
2．(2018·滨州)在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
3．(2018·兰州)如图，AB∥CD，AD＝CD，∠1＝65°，则∠2的度数是( )
A．50° B．60° C．65° D．70°
4．(2018·湖州)如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是( )
A. 20° B．35° C．40° D．70°
5．(2018·扬州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是( )
A. BC＝EC B. EC＝BE
C. BC＝BE D. AE＝EC
6．(2018·南充)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点，若BC＝2，则EF的长度为( )
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A. B. 1 C. D.
7．(2018·淄博)如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC.若AN＝1，则BC的长为( )
A．4 B．6 C．4 D．8
8．(2018·黄冈)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD＝( )
A．2 B．3 C．4 D．2
9．(2017·海南)已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画( )条
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
10．(2018·陕西)如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为( )
A．2 B．3 C. D.
11．(2018·成都)等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为________．
12.(2018·湘潭)如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD＝________．
7
13．(2018·永州)一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB、CE相交于点D，则∠BDC＝________．
14．(2017·绥化)在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD＝BC，则△ABC的顶角的度数为________．
15．(2018·遵义)如图，△ABC中，点D在BC边上，BD＝AD＝AC，E为CD的中点，若∠CAE＝16°，则∠B＝________度.
16．(2018·南宁)如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是________．
17．(2018·邵阳)如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处，若AE＝3，则BC的长是________.
18．(2018·曲靖)如图：在△ABC中，AB＝13，BC＝12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE＝2.5，那么△ACD的周长是________．
7
19．(2018·嘉兴) 已知：在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E、F，且DE＝DF.
求证：△ABC是等边三角形.
1．(2018·枣庄)如图是由8个全等的小矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA，PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是( )
A. 2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．(2018·娄底)如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝3 cm，则BF＝________cm.
7
3．(2018·十堰)如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝6，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA＋DE的最小值为________．
4．(2018·天津)如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为________．
5．(2018·武汉)如图．在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是____．
6．(2018·漳州质检)阅读：所谓勾股数就是满足方程x2＋y2＝z2的正整数解，即满足勾股定理的三个正整数构成的一组数，我国古代数学专著《九章算术》一节，在世界上第一次给出该方程的解为：x＝(m2－n2)，y＝mn，z＝(m2＋n2)，其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．
应用：当n＝5时，求一边长为12的直角三角形另两边的长．
参考答案
【基础训练】
1．B 2.A 3.A 4.B 5.C 6.B 7.B 8.C 9.B 10.D
11．80° 12.30° 13.75° 14.30°或90°或150° 15.37
7
16．3 17.3
18．18 【解析】∵D，E分别是AB，BC的中点，∴AC＝2DE＝5，AC∥DE，又AC2＋BC2＝52＋122＝169，AB2＝132＝169，∴AC2＋BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∵AC∥DE，∴∠DEB＝90°，又∵E是BC的中点，∴直线DE是线段BC的垂直平分线，∴DC＝BD，∴△ACD的周长＝AC＋AD＋CD＝AC＋AD＋BD＝AC＋AB＝18，故答案为：18.
19．证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，
∴∠AED＝∠CFD＝90°，
∵D为AC的中点，∴AD＝DC，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF，∴∠A＝∠C，
∴BA＝BC，∵AB＝AC，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形．
【拔高训练】
1．B 2.6 3.
4. 【解析】如解图，连接DE.∵D，E分别为AB，BC的中点，∴CE＝BC＝×4＝2，DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC，DE＝AC＝×4＝2，∴∠DEB＝∠C＝60°.∵EF⊥AC，∴∠EFC＝90°，∠FEC＝180°－90°－60°＝30°，∴∠DEG＝180°－∠DEB－∠FEC＝180°－60°－30°＝90°.在Rt△EFC中， EF＝CE·cos∠CEF＝2×＝.∵G是EF的中点，∴EG＝.在Rt△DEG中，根据勾股定理，得DG＝＝＝.
5. 【解析】如解图，延长BC至M，使CM＝CA，连接AM，作CN⊥AM于N，∵DE平分△ABC的周长，
∴ME＝EB，又AD＝DB，∴DE＝
7
AM，DE∥AM，∵∠ACB＝60°，∴∠ACM＝120°，∵CM＝CA，∴∠ACN＝60°，AN＝MN，∴AN＝AC·sin∠ACN＝.∴AM＝.∴DE＝.
6．解： ∵n＝5，直角三角形一边长为12，∴有三种情况：
①当x＝12时，(m2－52)＝12.
解得m1＝7，m2＝－7(舍去)，∴y＝mn＝35.
∴z＝(m2＋n2)＝×(72＋52)＝37.∴该情况符合题意．
②当y＝12时，5m＝12，m＝.∵m为奇数，∴m＝舍去．
③当z＝12时，(m2＋52)＝12，m2＝－1，
此方程无实数解．
综上所述：当n＝5时，一边长为12的直角三角形另两边的长分别为35，37.
7
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