第四节 二次函数的基本性质
姓名：________ 班级：________ 限时：______分钟
1．(2018·厦门质检)抛物线y＝ax2＋2x＋c的对称轴是直线( )
A．x＝－ B．x＝－ C．x＝ D．x＝
2．(2018·泰安)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则反比例函数y＝与一次函数y＝ax＋b在同一坐标系内的大致图象是( )
3．(2018·山西)用配方法将二次函数y＝x2－8x－9化为y＝a(x－h)2＋k的形式为( )
A．y＝(x－4)2＋7 B．y＝(x－4)2－25
C．y＝(x＋4)2＋7 D．y＝(x＋4)2－25
4．(2018·陕西)对于抛物线y＝ax2＋(2a－1)x＋a－3，当x＝1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．(2018·黄冈)当a≤x≤a＋1时，函数y＝x2－2x＋1的最小值为1，则a的值为( )
A．－1 B．2 C．0或2 D．－1或2
6．(2018·绍兴)若抛物线y＝x2＋ax＋b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( )
A. (－3，－6) B. (－3，0)
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C. (－3，－5) D. (－3，－1)
7．(2018·河北)对于题目“一段抛物线L：y＝－x(x－3)＋c(0≤x≤3)与直线l：y＝x＋2有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值，”甲的结果是c＝1，乙的结果是c＝3或4，则( )
A．甲的结果正确
B．乙的结果正确
C．甲、乙的结果合在一起才正确
D．甲、乙的结果合在一起也不正确
8. (2018·安顺)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，分析下列四个结论：①abc＜0；②b2－4ac＞0；③3a＋c＞0；④(a＋c)2＜b2，其中正确的结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．(2018·潍坊)已知二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，则h的值为( )
A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6
10．(2018·天津)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)经过点(－1，0)，(0，3)，其对称轴在y轴右侧，有下列结论：
①抛物线经过点(1，0)；
②方程ax2＋bx＋c＝2有两个不相等的实数根；
③－3＜a＋b＜3.
其中，正确结论的个数为：( )
A．0 B．1 C．2 D．3
11 .(2018·衡阳)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，顶点坐标(1，n)，与y轴的交点在(0，2)，(0，3)之间(包含端点)，则下列结论：①3a＋b＜0；②－1≤a≤－；③对于任意实数m，a＋b≥am2＋bm总成立；④关于x的方程ax2＋bx＋c＝n－1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为( )
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A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
12.(2018·三明质检)二次函数y＝x2＋mx＋m－2的图象与x轴有________个交点．
13．(2018·南平质检)将抛物线y＝3(x＋1)2－2向右平移3个单位，再向上平移4个单位，那么得到的抛物线对应的函数表达式为________．
14．(2018·孝感)如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点坐标分别为A(－2，4)，B(1，1)，则方程ax2＝bx＋c的解是________．
15．(2018·南充节选)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴交于A，B两点，顶点P(m，n)．给出下列结论：
①2a＋c＜0；
②若(－，y1)，(－，y2)，(，y3)在抛物线上，则y1＞y2＞y3；
③关于x的方程ax2＋bx＋k＝0有实数解，则k＞c－n.
其中正确结论是________．
16．(2018·云南省卷)已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过A(0，3)，B(－4，－)两点，
(1)求b、c的值；
(2)二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴是否有公共点？若有，求公共点的坐标；若没有，请说明理由．
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1．已知二次函数的图象以A(－1，4)为顶点，且过点B(2，－5)．
(1)求该函数的关系式；
(2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
(3)将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．
2．(2018·杭州)设二次函数y＝ax2＋bx－(a＋b)(a，b是常数，a≠0)．
(1)判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由；
(2)若该二次函数图象经过A(－1，4)，B(0，－1)，C(1，1)三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式；
(3)若a＋b＜0，点P(2，m)(m＞0)在该二次函数图象上，求证：a＞0.
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3．(2018·漳州质检)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的对称轴为直线x＝－2.
(1)b＝________；(用含a的代数式表示)
(2)当a＝－1时，若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0在－3＜x＜1的范围内有解，求c的取值范围；
(3)若抛物线过点(－2，－2)，当－1≤x≤0时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，求a的值．
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4．(2017·杭州)在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝(x＋a)(x－a－1)，其中a≠0.
(1)若函数y1的图象经过点(1，－2)，求函数y1的表达式；
(2)若一次函数y2＝ax＋b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；
(3)已知点P(x0，m)和Q(1，n)在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．
5．(2018·南通)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2－2(k－1)x＋k2－k(k为常数)．
(1)若抛物线经过点(1，k2)，求k的值；
(2)若抛物线经过点(2k，y1)和点(2，y2)，且y1＞y2，求k的取值范围；
(3)若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值－，求k的值．
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参考答案
【基础训练】
1．A 2.C 3.B 4.C 5.D 6.B 7.D 8.B 9.B 10.C
11．D 12.2 13.y＝3(x－2)2＋2 14.x1＝－2，x2＝1
15．② 【解析】 ∵－＜，a＞0，∴a＞－b，∵x＝－1时，y＞0，∴a－b＋c＞0，∴2a＋c＞a－b＋c＞0，故①错误；若(－，y1)，(－，y2)，(，y3)在抛物线上，由图象法可知，y1＞y2＞y3，故②正确；∵抛物线与直线y＝t有交点时，方程ax2＋bx＋c＝t有解，t≥n，∴ax2＋bx＋c－t＝0有实数解，要使得ax2＋bx＋k＝0有实数解，则k＝c－t≤c－n，故③错误，故答案为②.
16．解： (1)将点A(0，3)，B(－4，－ )代入二次函数解析式，得 解得.
(2)由(1)知，二次函数解析式为y＝－x2＋x＋3，令y＝0，得－x2＋x＋3＝0，
整理得x2－6x－16＝0，
解得x1＝－2，x2＝8，
即该二次函数的图象与x轴有两个不同交点，坐标分别为(－2，0)，(8，0)．
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【拔高训练】
1．解：(1)设函数关系式为顶点式y＝a(x＋1)2＋4.
将B(2，－5)代入得：a＝－1.
∴该函数的解析式为：y＝－(x＋1)2＋4＝－x2－2x＋3.
(2)令x＝0，得y＝3，因此抛物线与y轴的交点为：(0，3)．
令y＝0，则－x2－2x＋3＝0，解得：x1＝－3，x2＝1，即抛物线与x轴的交点为：(－3，0)，(1，0)．
(3)设抛物线与x轴的交点为M、N(M在N的左侧)，由(2)知：M(－3，0)，N(1，0)．
当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位．
故A′(2，4)，B′(5，－5)，如解图．
∴S△OA′B′＝×(2＋5)×9－×2×4－×5×5＝15.
2．(1)解：由题意Δ＝b2－4·a[－(a＋b)]＝b2＋4ab＋4a2＝(2a＋b)2≥0，
∴二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个．
(2)解：∵当x＝1时，y＝a＋b－(a＋b)＝0，
∴抛物线不经过点C.
把点A(－1，4)，B(0，－1)分别代入，得
解得
∴抛物线对应的函数解析式为y＝3x2－2x－1.
(3)证明：当x＝2时，
m＝4a＋2b－(a＋b)＝3a＋b＞0①，
∵a＋b＜0，∴－a－b＞0②，
①②相加得：2a＞0，∴a＞0.
3．解：(1)4a；
(2)当a＝－1时，∵关于x的方程－x2－4x＋c＝0在－3＜x＜1的范围内有解，即关于x的方程x2＋4x－c＝0在－3＜x＜1的范围内有解，
∴根的判别式＝16＋4c≥0，即c≥－4，
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抛物线y＝x2＋4x＝(x＋2)2－4与直线y＝c在－3＜x＜1的范围内有交点．
当x＝－2时，y＝－4；当x＝1时，y＝5.
由图象可知：－4≤c＜5.
(3)∵抛物线y＝ax2＋4ax＋c过点(－2，－2)，
∴c＝4a－2，
∴抛物线对应的函数解析式为：y＝ax2＋4ax＋4a－2＝a(x＋2)2－2.
方法一：①当a＞0时，抛物线开口向上．
∵抛物线的对称轴为直线x＝－2，
∴当－1≤x≤0时，y随x增大而增大．
∵抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，
由图象可知：4a－2＝4.∴a＝.
②当a＜0时，抛物线开口向下．
∵抛物线对称轴为直线x＝－2，
∴当－1≤x≤0时，y随x增大而减小．
∵抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，
由图象可知：4a－2＝－4.∴a＝－.
综上所述：a＝或a＝－.
4．解： (1)函数y1的图象经过点(1，－2)，
将其代入得(a＋1)(－a)＝－2，
解得a1＝－2，a2＝1，
当a＝－2时，y1＝(x－2)(x＋2－1)，
化为一般式得y＝x2－x－2，
当a＝1时，y1＝(x＋1)(x－2)，
化为一般式得y1＝x2－x－2，
综上所述，函数y1的表达式为y1＝x2－x－2；
(2)函数y1＝(x＋a)(x－a－1)的图象与x轴的交点为(－a，0)，(a＋1，0)，
①当函数y2＝ax＋b的图象经过点(－a，0)时，
把x＝－a，y＝0代入y2＝ax＋b中，
得a2＝b；
②当函数y2＝ax＋b的图象经过点(a＋1，0)时，
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把x＝a＋1，y＝0代入y2＝ax＋b中，
得a2＋a＝－b；
(3)抛物线y1＝(x＋a)(x－a－1)的对称轴是直线x＝＝，
∵二次项系数1＞0，
∴抛物线的开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴的距离越大，它的纵坐标值也越大，
∵m＜n，
∴点Q离对称轴x＝的距离比点P离对称轴x＝的距离大，
∴|x0－|＜1－，
∴0＜x0＜1.
5．解： (1)∵抛物线y＝x2－2(k－1)x＋k2－k(k为常数)经过点(1，k2)，
∴1－2(k－1)＋k2－k＝k2.解得k＝.
(2)∵抛物线经过点(2k，y1)和点(2，y2)，
∴y1＝(2k)2－4k(k－1)＋k2－k＝k2＋k，y2＝4－4(k－1)＋k2－k＝k2－k＋8；
又∵y1＞y2，∴k2＋k＞k2－k＋8，解得k＞1.
(3)∵抛物线y＝x2－2(k－1)x＋k2－k＝(x－k＋1)2－k－1，
∴平移后的解析式为y＝(x－k)2－k－1.
∴该抛物线的对称轴为直线x＝k.
①若k＜1，则当x＝1时，y有最小值－.
∴(1－k)2－k－1＝－，
解得k1＝1，k2＝.
∵k＜1，∴k1＝1.
②若1≤k≤2，则当x＝k时，y有最小值－.
∴－k－1＝－，解得k＝1.
③若k＞2，则当x＝2时，y有最小值－.
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∴(2－k)2－k－1＝－，
解得k1＝3，k2＝.
∵k＞2，∴k＝3.
综上，k的值为1或3.
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