第
21
章
一次函数
本章总结提升
知识框架
整合提升
第
21
章
一次函数
本章总结提升
知识框架
现实问题
一次函数
表达式
图像和性质
应用
待定系数法
增减性
与二元一次方程的关系
图像的位置
解决实际问题
解决方案问题
整合提升
问题
1
一次函数的表达式
本章总结提升
一次函数的表达式为
y
=
kx
+
b
,其中
k
和
b
满足什么条件?当
k
和
b
满足什么条件时,一次函数又是正比例函数呢?
本章总结提升
例
1
(
1
)如图
21
-
T
-
1
,直线
l
是一次函数
y
=
kx
+
b
的图像,请根据图像求出这个函数的表达式
.
图
21
-
T
-
1
本章总结提升
(
2
)鞋子的
“
鞋码
”
和鞋长(
cm
)存在一种换算关系,这种
“
换算关系
”
本质上是一次函数,下表是几组
“
鞋码
”
与鞋长换算的对应数值:
设鞋长为
x
,“鞋码
”
为
y
.
①求
x
,
y
之间的函数表达式;
②如果某人穿
44
号
“
鞋码
”
的鞋,那么他的鞋长是多少?
鞋长(
cm
)
24
16
19
21
鞋码(号)
38
22
28
12
本章总结提升
本章总结提升
【归纳总结】
待定系数法求一次函数表达式的步骤:
问题
2
一次函数的图像和性质
本章总结提升
一次函数主要体现数形结合思想,解决问题时必须把
“
数”和“形”结合起来
.
一次函数的性质和哪些常数有关?它有什么性质呢?它的图像位置和哪些常数有关?
本章总结提升
例
2
2017·
沈阳
在平面直角坐标系中,一次函数
y
=
x
-
1
的图像是( )
图
21
-
T
-
2
[
解析
]
一次函数
y
=
x
-
1
的图像过
(1
,
0)
,
(0
,-
1)
两个点,观察图像可得,只有选项
B
符合要求.故选
B.
B
本章总结提升
例
3
已知一次函数
y
=(
2
m
+
4
)
x
+(
3
-
m
)
.
(
1
)当
y
随着
x
的增大而增大时,求
m
的取值范围;
(
2
)若函数图像经过第一、二、三象限,求
m
的取值范围;
(
3
)若
m
=
1
,当-
1≤
x
≤2
时,求
y
的取值范围
.
本章总结提升
本章总结提升
【归纳总结】
一次函数的性质和图像的位置:
函数表
达式
字母
取值
图像
经过的
象限
性质
y
=
kx
+
b
(
k
≠
0
)
k
>
0
b
>
0
一、二、三象限
y
随
x
的
增大而
增大
b
=
0
原点和一、三象限
b
0
一、二、四象限
y
随
x
的
增大而
减小
b
=
0
原点和二、四象限
b
<
0
二、三、四象限
问题
3
一次函数与方程综合
本章总结提升
与一次函数的图像有关的交点问题可以转化为一元一次方程、二元一次方程组的问题解决
.
反过来,一元一次方程、二元一次方程组的问题也可以转化为一次函数图像的交点问题来解决
.
如何求一次函数图像与
x
轴、
y
轴的交点坐标呢?又如何求两个一次函数图像的交点坐标呢?
本章总结提升
例
4
已知直线
y
=
2
x
-
6
和
y
=-
ax
+
6
的交点
A
在
x
轴上,直线
y
=
x
与两直线分别交于点
C
,
B
.
(
1
)求
a
的值;
(
2
)在同一平面直角坐标系中画出这三条直线;
(
3
)求
B
,
C
两点的坐标;
(
4
)求
△
ABC
的面积
.
本章总结提升
本章总结提升
【归纳总结】
确定两直线的交点坐标及一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积的方法:
分类
求法
一条直线与
x
轴的交点坐标
令
y
=
0
,求出对应的
x
值
一条直线与
y
轴的交点坐标
令
x
=
0
,求出对应的
y
值
一条直线与其他一次函数图像的交点坐标
解由两个函数表达式组成的二元一次方程组,方程组的解为两函数图像的交点坐标
一条直线与坐标轴围成的三角形的面积
直线
y
=
kx
+
b
(
k
≠
0
)与
x
轴的交点坐标为,与
y
轴的交点坐标为(
0
,
b
),与坐标轴围成的三角形面积为
S
=
·|
-
|·|
b
|
问题
4
一次函数的实际应用
本章总结提升
生活中的一些实际问题和几何图形问题可以通过建立一次函数模型,运用一次函数的性质来解决
.
如何解决实际问题中的最多或最少及方案设计问题呢?
本章总结提升
例
5
现代互联网技术的广泛应用催生了快递行业的高速发展
.
小明计划给朋友快递一部分物品,经了解有甲、乙两家快递公司比较合适
.
甲公司表示:快递物品不超过
1
千克的,按每千克
22
元收费;超过
1
千克,超过的部分按每千克
15
元收费
.
乙公司表示:按每千克
16
元收费,另加包装费
3
元
.
设小明快递物品
x
千克
.
(
1
)请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用
y
(元)与
x
(千克)之间的函数关系式;
(
2
)小明选择哪家快递公司更省钱?
本章总结提升
本章总结提升
本章总结提升
例
6
A
城有某种农机
30
台,
B
城有农机
40
台,现要将这些农机全部运往
C
,
D
两乡,调运任务承包给某运输公司
.
已知
C
乡需要农机
34
台,
D
乡需要农机
36
台
.
从
A
城往
C
,
D
两乡运送农机的费用分别为
250
元
/
台和
200
元
/
台,从
B
城往
C
,
D
两乡运送农机的费用分别为
150
元
/
台和
240
元
/
台
.
本章总结提升
(
1
)设
A
城运往
C
乡该农机
x
台,运送全部农机的总费用为
W
元,求
W
关于
x
的函数关系式,并写出自变量
x
的取值范围;
(
2
)现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于
16460
元,则有多少种不同的调运方案?将这些方案设计出来;
(
3
)现该运输公司对
A
城运往
C
乡的农机,从运输费中每台减免
a
元(
a
≤200
)作为优惠,其他费用不变
.
如何调运,使总费用最少?
本章总结提升
解:
依题意列表如下:
表一 运送数量
(
台
)
表二 运输费用
(
元
/
台
)
接收地数量送出地
C
D
合计
A
x
30
-
x
30
B
34
-
x
6
+
x
40
合计
34
36
70
接收地费用送出地
C
D
A
250
200
B
150
240
(1)W
=
250x
+
200(30
-
x)
+
150(34
-
x)
+
240(6
+
x)
=
140x
+
12540.
∵表一中的数是非负数,∴自变量
x
的取值范围是
0≤x≤30.
(2)∵W≥16460
,∴
140x
+
12540≥16460
,解得
x≥28
,
∴
28
≤
x
≤
30
,此时整数
x
可以为
28
,
29
,
30.
∴共有
3
种调运方案,分别为:
当
x
=
28
时,从
A
城至
C
乡运
28
台,从
A
城至
D
乡运
2
台,从
B
城至
C
乡运
6
台,从
B
城至
D
乡运
34
台;
当
x
=
29
时,从
A
城至
C
乡运
29
台,从
A
城至
D
乡运
1
台,从
B
城至
C
乡运
5
台,从
B
城至
D
乡运
35
台;
当
x
=
30
时,从
A
城至
C
乡运
30
台,从
A
城至
D
乡运
0
台,从
B
城至
C
乡运
4
台,从
B
城至
D
乡运
36
台.
本章总结提升
(3)W
=
(250
-
a)x
+
200(30
-
x)
+
150(34
-
x)
+
240(6
+
x)
=
(140
-
a)x
+
12540.
①当
0
<
a
<
140
时,
140
-
a
>
0
,
W
随
x
的增大而增大,∴当
x
=
0
时,
W
最小;
②当
a
=
140
时,各种调运费用相同,均是
12540
元;
③当
140
<
a≤200
时,
140
-
a