专题训练(三) 一次函数图像与实际问题
一、选择适合的函数图像
1．2017·黑龙江如图3－ZT－1，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系图像可能是( )
图3－ZT－1
图3－ZT－2
2．2017·凉山州小明和哥哥从家里出发去买书，从家出发走了20分钟到一个离家1000米的书店．小明买了书后随即按原路返回；哥哥看了20分钟书后，用15分钟返家．如图3－ZT－3的图像中哪一个表示哥哥离家时间与距离之间的关系( )
图3－ZT－3
二、函数图像所能提供的信息
3．2017·丽水在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙先出发，图3－ZT－4中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y(千米)与行驶时间x(时)的函数关系的图像，下列说法错误的是( )
图3－ZT－4
5
A．乙先出发的时间为0.5小时
B．甲的速度是80千米/时
C．甲出发0.5小时后两车相遇
D．甲到B地比乙到A地早小时
4．2017·南充小明从家到图书馆看报然后返回，他离家的距离y与离家的时间x之间的对应关系如图3－ZT－5所示，如果小明在图书馆看报30分钟，那么他离家50分钟时离家的距离为________km.
图3－ZT－5
三、利用函数图像解决实际问题
5．2017·石家庄模拟某景区内从甲地到乙地的路程是12 km，小华步行从甲地到乙地游玩，速度为5 km/h，走了4 km后，休息了一段时间，然后继续按原速前往乙地．景区从甲地开往乙地的电瓶车每隔半小时发一趟车，速度是24 km/h.若小华与第1趟电瓶车同时出发，设小华距乙地的路程为y乙(km)，第n趟电瓶车距乙地的路程为yn(km)，n为正整数，行进时间为x(h)．如图3－ZT－6，画出了y乙，y1与x的函数关系图像．
(1)观察图像，其中a＝________，b＝________；
(2)求第2趟电瓶车距乙地的路程y2与x的函数关系式；
(3)当1.5≤x≤b时，在图中画出yn与x的函数图像，并观察图像，得出小华在休息后前往乙地的途中，共有________趟电瓶车驶过．
图3－ZT－6
6．图3－ZT－7中的折线ABC表示某汽车的耗油量y(单位： L/km)与速度x(单位： km/h)之间的函数关系(30≤x≤120)．已知线段BC表示的函数关系中，该汽车的速度每增加1 km/h，耗油量增加0.002 L/km.
(1)当速度为50 km/h，100 km/h时，该汽车的耗油量分别为________ L/km，________L/km；
(2)求线段AB所表示的y与x之间的函数表达式；
(3)速度是多少时，该汽车的耗油量最低？最低是多少？
5
图3－ZT－7
四、利用函数图像解决几何问题
7．如图3－ZT－8，直线y＝kx－3与x轴、y轴分别交于点B，C，且＝.
(1)求点B的坐标和k的值．
(2)若点A(x，y)是直线y＝kx－3在第一象限内的一个动点，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)．
(3)探究：
①当点A运动到什么位置时，△AOB的面积为？并说明理由．
②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
图3－ZT－8
5
详解详析
1．D [解析] 先注甲，乙水池水面为0，水到达连接的地方，水面上升比较慢，最后水面持平后继续上升，故选D.
2．D [解析] 根据题意，从20分钟到40分钟哥哥在书店里看书，离家距离没有变化，是一条平行于x轴的线段．故选D.
3．D [解析] A．由图像可得，乙先出发的时间为0.5小时，正确，不合题意；B.∵乙先出发0.5小时，两车相距(100－70)千米，∴乙车的速度为60千米/时，故乙车行驶全程所用时间为＝1(时)，由最后时间为1.75小时，可得乙先到达A地，故甲车整个过程所用时间为1.75－0.5＝1.25(时)，故甲车的速度为＝80(千米/时)，故B选项正确，不合题意；C.由以上所求可得，甲出发0.5小时后行驶距离为40千米，乙车行驶的距离为60千米，40＋60＝100(千米)，故两车相遇，故C选项正确，不合题意；D.由以上所求可得，乙到A地比甲到B地早，早1.75－1＝(时)，故此选项错误，符合题意．故选D.
4．0.3 [解析] 方法一：由题意可得，小明从图书馆回家用的时间是55－(10＋30)＝15(分)，则小明回家的速度为0.9÷15＝0.06(千米/分)，故他离家50分钟时离家的距离为0.9－0.06×[50－(10＋30)]＝0.3(千米)，故答案为0.3；
方法二：设小明从图书馆回家对应的函数表达式为y＝kx＋b，
则该函数图像过点(40，0.9)，(55，0)，
解得
即小明从图书馆回家对应的函数表达式为y＝－0.06x＋3.3，
当x＝50时，y＝－0.06×50＋3.3＝0.3.故答案为0.3.
5．解：(1)0.8 3.1
(2)由题意知，第2趟电瓶车距乙地的路程y2与x的函数图像过点(0.5，12)和(1，0)，
设y2＝kx＋t(k，t为常数，且k≠0)，代入上述两个点的坐标，得
解得
∴y2＝－24x＋24.
(3)如图：
故共有3趟电瓶车驶过．
6．解：(1)0.13 0.14
(2)设线段AB所表示的y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b.
因为y＝kx＋b的图像过点(30，0.15)与(60，0.12)，
所以解得
所以线段AB所表示的y与x之间的函数表达式为y＝－0.001x＋0.18.
(3)根据题意，得线段BC所表示的y与x之间的函数表达式为y＝0.12＋0.002(x－90)
5
＝0.002x－0.06.
由图像可知，B是折线ABC的最低点．
解方程组得
因此，速度是80 km/h时，该汽车的耗油量最低，最低是0.1 L/km.
7．[解析] (1)首先求得直线y＝kx－3与y轴的交点坐标，则OC的长度即可求解，进而求得点B的坐标，把点B的坐标代入函数关系式即可求得k的值；
(2)根据三角形的面积公式即可求解；
(3)分O，P，A分别是等腰三角形顶角的顶点三种情况进行讨论，利用等腰三角形的性质即可求解．
解：(1)在y＝kx－3中，令x＝0，得y＝－3，故点C的坐标是(0，－3)，则OC＝3.
∵＝，∴OB＝，
∴点B的坐标是(，0)．
把点B的坐标代入y＝kx－3，得k－3＝0，
解得k＝2.
(2)∵OB＝，
∴S＝××(2x－3)＝x－.
(3)①当点A运动到点(3，3)时，△AOB的面积为.
理由：根据题意，得x－＝，解得x＝3，∴y＝3，则点A运动到点(3，3)时，△AOB的面积为.
②存在．由已知得OA＝＝3 ，
当OA＝OP时，点P的坐标是(－3 ，0)或(3 ，0)；
当AO＝AP时，点P与点O关于过点A与x轴垂直的直线对称，则点P的坐标是(6，0)；
当PO＝PA时，点P在OA的垂直平分线上，易得点P的坐标是(3，0)．
故点P的坐标是(－3 ，0)或(3 ，0)或(6，0)或(3，0)．
5
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