3.3 公式法
第 1 课时 用平方差公式分解因式
教学目标
经历用平方差公式因式分解的探索过程；
会用平方差公式对多项式进行因式分解；
经历探索运用平方差公式分解因式的过程，体会逆向思维的作用，渗透化归思想.
体会从正、反两个方向认识和研究事物的方法。
重点难点
重点 ： 能灵活运用平方差公式进行因式分解。
难点：对平方差公式特点的理解和把握。
教学过程
一、复习回顾
1. 什么特点的多项式可以用提公因式法进行因式分解？
2. 如果一个多项式的各项没有公因式，是否就不能因式分解了呢？
通过讨论，感受到还需要寻找其它方法
3. 观察乘法公式：
大家判断一下，把这个式子反过来，从右边到左边地使用，是否是因式分解？
学生观察、讨论：反过来就是
根据因式分解的定义，这是因式分解。
教师总结：把乘法公式从右到左地使用，就可以把某些形式的多项式进行因式分解，这种因
式分解的方法叫做公式法。
什么形式的多项式可以用平方差公式进行因式分解？怎样分解呢？
二、公式探究
1.请大家观察公式左边的式子 ，找出它的特点。
学生讨论交流，并用数学语言叙述：是一个二项式，每一项都可以化成整式的平方，整体看
是两个整式的平方差。体会式子中的字母 可以是单项式，也可以是多项式。
2 2( )( )a b a b a b+ − = −
2 2 ( )( )a b a b a b− = + −
2 2a b−
,a b2.师生共同归纳：如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式因
式分解，分解成两个整式的和与这两个整式的差的积。
3. 把下列多项式因式分解：
（1） ； （2） ； （3） ； （3）
学生口答，教师给予肯定或点拨。
三、典例剖析
例 1、 把下列多项式因式分解.
（1） ；（2）
教师引导学生将每个多项式化成两个单项式的平方差，利用平方差公式因式分解，板书分解
过程.
注意，因式分解要进行到不能分解为止。
专项训练：
填空：
（1） ；（2） ；（3） ；（4）
例 2、把 因式分解.
教师引导学生观察多项式的特点，是否是两个整式的平方差，体会两个多项式的平方差
也可以用公式来分解。教师板书解答过程，强调步骤清晰、运算仔细。
例 3、把 因式分解.
教师引导学生观察多项式的特点，虽不能直接转化成两项的平方差，但两项有公因式，
可以先提取公因式，再用公式。
教师板书解答过程后，引导学生归纳分解因式的一般步骤：（1）若有公因式先提公因
式（2）转化成两数的平方差形式（3）用公式法进行因式分解。
四、课堂练习
基础训练：
1. 把下列多项式因式分解：
（1） ； （2） ； （3） ；
2 9a − 2 1y − 2 1
16m − 24 a−
2 225 4x y− 4 4x y−
2 29 ( )y = 2 236 ( )25 x = 2 29 ( )4 t = 2 4 24 ( )x y =
2 2( ) ( )x y x y+ − −
3 2 5x y x−
2 29 4y x− 21 25x− 2 29 1625 m n−（4） ；（5） ； （6） ；（7）
学生独立完成练习，练习的过程中注意模仿教师的解答过程。然后以小组为单位讨论交
流，并派代表阐述自己的心得体会，其他同学做补充。
提高训练
2. 用简便方法计算：
（1） ； （2）
3.手表表盘的外圆直径 D=3.2cm，内圆直径 d=2.8cm，在外圆与内圆之间涂有防水材料。试
求涂上防水材料的圆环的面积（结果保留 ）。怎样计算较简便？
五、小结
对本节课学习过程中的收获进行总结：（1）因式分解的两种方法；（2）平方差公式的
特点；（3）化归的思想方法。
先让学生总结归纳，再共同概括，教师点明注意问题。
六、布置作业
3.3 公式法
第 2 课时 用完全平方公式分解因式
教学目标
会用完全平方公式对多项式进行因式分解；
经历探索运用完全平方公式分解因式的过程，体会逆向思维的作用，渗透化归思想.
体会从正、反两个方向认识和研究事物的方法。
重点难点
重点：能灵活运用完全平方公式进行因式分解。
难点：准确判断多项式是否符合完全平方公式的特点。
教学过程
一、复习导入
整式乘法与因式分解的过程是互逆的，如果把学过的乘法公式反过来，则可以进行某些
多项式的因式分解，上节课我们已经学习了用平方差公式因式分解。想一想，我们还学习了
2 2( ) ( )x y y x+ − − 4 16x − 4 29 36x y− 3 2a ab−
2 249.6 50.4− 2 213.3 11.7−
π什么乘法公式？
鼓励学生回答，完全平方公式：
，
二、公式探究
1.把乘法公式反过来，就是因式分解的公式：
，
用语言叙述为：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的 2 倍，等于这两数和（或
差）的平方。
那么什么样的多项式可以用这个公式因式分解呢？请大家互相交流，找出这个多项式的特点。
多项式的特点：（1）多项式是三项式；
（2）其中两项可以写成两数或两式的平方和的形式，另一项是这两数或两式乘积的 2 倍。
具有上述特点的多项式称为完全平方式。
如果一个多项式是完全平方式，就可以用公式因式分解。
2. 下列多项式是不是完全平方式？
（1） ； （2） ； （3） ； （4）
学生口答并叙述自己的判定理由。
三、典例剖析
例 1、 把 因式分解.
教师引导学生观察，这个多项式是不是完全平方式？公式里的 指的是什么？
分析后板书过程，规范书写格式。
解：
练习：
填空：（若某一栏不适用，填入“不适用”）
能否表示成 或 的形式 各表示什么
2 2 2( ) 2a b a ab b+ = + + 2 2 2( ) 2a b a ab b− = − +
2 2 22 ( )a ab b a b+ + = + 2 2 22 ( )a ab b a b− + = −
2 6 9x x− + 24 1a + 2 2 1x x+ − 2 24x xy y+ +
2 19 3 4x x− +
,a b
2( )a b+ 2( )a b− ,a b
2
2 2
2
19 3 4
1 1(3 ) 2 3 ( )2 2
1(3 )2
x x
x x
x
− +
= − ⋅ ⋅ +
= −多项式
例 2、 把下列多项式因式分解：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4）
教师引导学生从整体上去观察多项式是不是完全平方式，或者做适当的变形转化成完全
平方式。学生思考后得到：第（1）题要把 看成一个整体；第（2）题把三项都添进
带负号的括号；第（3）题把 变形成 ；第（4）题先化简整理成一个多项式。
板书解题过程，规范书写格式。
师生共同总结分解步骤：（1）将多项式转化成完全平方式；（2）用完全平方公式因式分解。
例 3、 把下列多项式因式分解：
（1） ； （2）
学生独立思考，小组内交流后得到因式分解的一般步骤：（1）若有公因式先提公因式
（2）若没有公因式则转化成公式的形式，用公式法进行因式分解。
注意，因式分解一定要分解到每个因式都不能再分解为止。
四、课堂练习
基础训练：
1. 把下列多项式因式分解：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） .
学生独立完成，小组内自主纠错，教师巡视点拨。
2 10 25x x− +
2 2 4x x+ +
2
1 4
yy+ +
2 24 12 9x xy y− +
2( ) 12( ) 36x y x y− − − + 2 24 12 9x xy y− + −
4 2 22a a b b+ + ( 4)( 1) 9a a a− − +
( )x y−
4a 2 2( )a
4 2 2 32x y x y y− + 2 24 ( 2 1)x y y− − +
2 255 4x x+ + 216 24 9y y− +
2 2 1
3 9x x+ + 4 3 2 2 43 6 3x x y x y+ + 提高训练
2. 把下列多项式因式分解：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） .
鼓励学生认真观察和分析，在整体和转化的思想指导下，灵活地运用所学的方法进行
因式分解。
五、小结
让学生总结本节课的收获，还存在的问题。
总结概括出：1.平方差公式的特点；
2. 完全平方公式的特点；
3. 因式分解的一般步骤；
4. 整体和转化思想方法的运用。
先让学生总结归纳，再共同概括，教师点明注意问题。
六、布置作业
2 24 ( 2 1)x y y− − + 4 2 2( 4 4) 4x x y+ + −
( 4)( 1) 3x x x− + + 2( ) 12( ) 36x y x y+ + + +
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