3.2 提公因式法（1）
教学目标
能确定多项式的公因式，熟练运用提公因式法分解因式.
经历探索提公因式法的过程，培养逆向思维能力.
让学生通过参与探索过程，培养合作意识和创新精神.
重点难点
重点： 公因式的定义以及提公因式法分解因式.
难点：准确找出多项式中各项的公因式.
教学过程
一、复习回顾
1. 什么叫做因式分解？与整式乘法有什么联系？
2. 计算：
3. 观察上式运算的结果 ，各项所含的因式有什么特点？
学生观察到各项含有相同的因式 m 后，教师给出公因式的概念：
几个式子的公共的因式称为它们的公因式.
一个多项式如果各项含有公因式，怎样分解因式呢？
二、探究新知
根据 的计算结果，你能将 分解因式吗？分解的根据是什
么？你能说说分解的具体做法是什么吗？
学生思考讨论后，教师引导学生分析分解的根据是乘法分配律，具体的做法是把各项的
公因式提到括号外面. 随后给出这种方法的名称.
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，这种把多项式因式
分解的方法叫做提公因式法. 用提公因式法分解因式时要把所有的公因式都提出，使剩下的
多项式因式里不含公因式.
三、典例剖析
例 1、 把 因式分解.
教师引导学生观察各项的公因式，并板书分解过程.
解：
( ) ___________m a b c+ + =
ma mb mc+ +
( )m a b c+ + ma mb mc+ +
25 3x xy x− +
25 3
5 3 1
(5 3 1)
x xy x
x x x y x
x x y
− +
= ⋅ − ⋅ + ⋅
= − +反思：分解得 对不对，为什么？
例 2、把 因式分解.
教师引导学生观察各项的公因式，并总结出找公因式的方法：一看各项系数，找出各系
数的最大公因数，二看各项的字母因式，找出相同的字母因式.
板书分解过程：
解：
例 3、 把 因式分解.
引导学生观察各项的公因式，并总结出找公因式的方法：一看各项系数，找出各系数的
最大公因数，二看各项的字母因式，找出相同的字母因式，相同的字母取指数最小的作为公
因式.
板书分解过程：
解：
四、课堂练习
基础训练：
1.说出下列多项式中各项的公因式：
（1） ； （2） ；
（3） .
2. 在下列括号内填写适当的多项式：
（1） ；（2） .
3. 把下列多项式因式分解：
（1） ； （2） ；
（3） .
学生解答各题，教师组织学生互相批改. 补充说明，当多项式首项系数是负数时，一般
要把负号提出括号.
五、小结
请你总结一下如何确定多项式中各项的公因式.
24 6x x−
24 6 2 2 2 3 2 (2 3)x x x x x x x− = ⋅ − ⋅ = −
2 4 28 12x y xy z−
212 18 15x y xy y− + − 2 3r h rπ π+
1 12 4 ( , 1 )m n m nx y x y m n− −− 均为大于 的整数
3 23 2 ( )x x x x− + = ( )3 2 2 230 48 6x y x yz x y− + = −
23 5xy y y− + 3 2 2 3 2 26 4 10m n m n m n− − +
3 2 2 4 4 2 34 8 12x yz x yz x y z− +
(5 3 )x x y−
2 4 2 2 2 2 2 28 12 4 2 4 3 4 (2 3 )x y xy z xy xy xy z xy xy z− = ⋅ − ⋅ = −六、布置作业
3.2 提公因式法（2）
教学目标
能确定较复杂多项式的公因式，灵活运用提公因式法分解因式.
通过分解较复杂的多项式，体会整体的方法，培养观察、分析能力，提高运算能力.
让学生通过参与数学活动，提高学习数学的兴趣和信心.
重点难点
重点： 公因式的确定以及提公因式法分解因式.
难点：准确找出多项式中各项的公因式.
教学过程
一、复习回顾
1. 你知道下面多项式有什么关系吗？用式子怎样表达它们之间的关系？
（1） 与 ；（2） 与 ；
（3） 与 ；（4） 与 .
2. 下列多项式有公因式吗？如果有怎样进行因式分解呢？
（1） ；（2） .
学生思考后回答. （1）的公因式是 ，注意观察系数和相同的因式；（2）中
可以变形成 ，所以公因式是 . 可以用提公因式法因式分解.
二、典例剖析
例 1、 把下列多项式因式分解.
（1） ； （2） .
教师引导学生观察各项的公因式，特别是（2），要把所有的公因式都提出来.
解：（1） （2）
例 2 、把下列多项式因式分解.
（1） ； （2）
让学生观察思考，正确找到公因式，另外还要注意将分解得到的因式化简.
a b+ b a+ a b− b a−
2( )a b− 2( )b a− 3( )a b− 3( )b a−
2 ( 1) 4 ( 1) 8 ( 1)am x bm x cm x+ + + + + 2 (3 ) ( 3 )x a b y b a− − −
2 ( 1)m x + 3b a−
(3 )a b− − (3 )a b−
( 2) 3( 2)x x x− − − 2 212 ( ) 18 ( )xy x y x y x y+ − +
( 2) 3(2 )x x x− − − 2 2( )( ) ( )( )a c a b a c b a+ − − − −
( 2) 3( 2)
( 2)( 3)
x x x
x x
− − −
= − −
2 212 ( ) 18 ( )
6 ( )(2 3 )
xy x y x y x y
xy x y y x
+ − +
= + −教师板书解答过程.
解：（1） （2）
例 3、把下列多项式因式分解.
（1） ； （2）
教师引导学生从观察公因式入手，通过适当变形找到公因式，第（1）题添括号，第
（2）题连续两次使用提公因式法，让学生体会整体的思想方法。还要注意因式分解要分解
到不能分解为止。
解：（1） （2）
三、课堂练习
基础训练：
1. 把下列多项式因式分解：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） .
学生解答各题，教师组织学生互相批改，对学生出错比较多的地方做讲解和变式训练.
提高训练
2.把下列多项式因式分解：
（1） ； （2） ；
（3） .
四、小结
让学生讨论交流一下提公因式法的关键是什么，如何确定多项式的公因式，以及要注意的一
些细节问题。
五、布置作业
( 3) 3x y y− − + 2( ) (4 4 )x x xy x y− − −
( ) ( )y x y x x y− + − ( ) ( )y x y x y x− + −
2 2( ) ( )a x y b y x− − − 2 24 ( ) 6 ( )a b a b ab a b− − −
( 3) (2 6)x y y− − − 3 2( ) ( ) ( )x y x y x y+ − − +
2 2( ) (4 4 )x x xy x xy− − −
( 2) 3(2 )
( 2) 3( 2)
( 2)( 3)
x x x
x x x
x x
− − −
= − + −
= − + [ ]
2 2
2 2
2
2
2
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 ( )
a c a b a c b a
a c a b a c a b
a b a c a c
a b a c a c
c a b
+ − − − −
= + − − − −
= − + − −
= − + − +
= −
( 3) 3
( 3) ( 3)
( 3)( 1)
x y y
x y y
y x
− − +
= − − −
= − −
2
2
2
( ) (4 4 )
( ) 4( )
( )( 4)
( )( 2)( 2)
x x xy x y
x x y x y
x y x
x y x x
− − −
= − − −
= − −
= − + −
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