1.4 三元一次方程组
一、教学目标：
1．知识与技能：
（1）了解三元一次方程组的概念
（2）会用“代入”“加减”把三元一次方程组化为“二元”、进而化为“一元”方程来解决
（3）能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法
2．过程与方法：
（1）在学习二元一次方程组的基础上，通过类比引入三元一次方程组的概念、解法、应用.
（2）让学生认识三元一次方程组的求解关键在于“消元”，进一步熟练掌握“代入”“加减”消元的
方法
（3）教会学生面对三元一次方程组时，选择适当的解法，以提高运算的效率
3．情感态度与价值观：
（1）让学生感受把新知转化为已知、把不会的问题转化为学过的问题、把难度大的问题转化为难度
较小的问题这一化归思想，体会数学学习的方法.
（2）让学生认识解方程组的基本思想就是“消元”.无论是解二元一次方程组、还是三元一次方程组，
推广到四元、五元、多元一次方程组，基本策略都是化多为少、逐一解决，具体措施都是“代入”或
“加减”，以实现“消元”，转化为一元一次方程，从而得解.
二、教学重点、难点
根据以上分析，我将本节课的教学重点确定为：三元一次方程组的解法及“消元”思想.
教学难点确定为：根据方程组的特点，选择消哪个元，选择用什么方法消元
三、教学方法和手段：
现代教学理论认为，在教学过程中，学生是学习的主体，教师是学习的组织者，教学的一切活动
都必须以强调学生的主动性、积极性为出发点。根据这一理念，结合本节课的内容特点和学生的年龄
特点，本节课我采用启发引导式、讨论式及讲练结合的教学方法，以提出问题、解决问题为主线，倡
导学生主动参与、独立思考、积极交流，在教师的指导下发现、分析、解决问题，给学生足够的思考
时间，让学生去联想、类比、探索并及时的反思，从真正意义上完成对知识的自我建构.另外，在教学中我采用多媒体辅助教学，以直观呈现教学素材，从而更好地激发学生的学习兴趣，增大教学容量，
提高教学效率.
四、教学过程
1、引入新课
设计意图：通过创设问题情境，引入新课，使学生了解三元一次方程组的概念及本节课要解决的问题
问题 1：小明手头有 12 张面额分别为 1 元、2 元、5 元的纸币，共计 22 元，其中 1 元纸币的数量是 2
元纸币数量的 4 倍.求 1 元、2 元、5 元纸币各多少张？
教师提问：这里有三个要求的量，直接设出三个未知数列方程组，顺理成章，直截了当，容易理解.
如果设 1 元、2 元、5 元纸币分别为 x 张、y 张、z 张，用它们可以表示哪些等量关系？
预测学生回答： ； ；
教师活动设计：强调审题抓住的三个等量关系，从而表示成以上三个方程，这个问题的解答必须同时
满足这三个条件，因此，把这三个方程联立起来，成为 ，引出三元一次方程组的概
念.
学生活动设计：翻开书本朗读三元一次方程组的概念，关注概念中的三个要点.
教师活动设计：引出本节课的要解决的问题——解三元一次方程组
2、探索新知
设计意图：结合情境问题中列出的方程组，类比前面所学二元一次方程组的解法，得到解三元一次方
程组的整体思路.
教师活动设计：引导学生回顾前面所学二元一次方程组解法的基本指导思想——消元，尝试对
进行消元，从而解决例 1.
12x y z+ + = 2 5 22x y z+ + = 4x y=
12
2 5 22
4
x y z
x y z
x y
+ + =
+ + =
=
12
2 5 22
4
x y z
x y z
x y
+ + =
+ + =
=
②
①
③预测学生做法：由于方程组③式的特点，学生会将③式分别代入①②式，消去 x，从而转化为关于 y、z
的二元一次方程组的求解.
教师活动设计：板书用代入法消元的求解过程，强调解题的格式.求解完后引导学生总结三元一次方
程组的求解思路：三元——二元——一元，关键在于消元.
3、理解巩固
(1)“小试牛刀”：解三元一次方程组
设计意图：本题是在课本例 1 的基础上，改变系数所得，因为本题的意图是让学生模仿老师的做法自
行操作的第一题，所以尽量让各项系数简单一些，让学生练习感觉愉悦一些.
预测学生做法：用加减消元由②③式消去 y，转化为关于 x、z 的二元一次方程组的求解
教师活动设计：观察学生练习的过程，展示学生的求解过程
(2)例 2 在等式 y=ax2+bx+c 中，当 x=-1 时，y=0；当 x=2 时，y=3；当 x=5 时，y=60.求 a、b、c 的值.
设计意图：由课本例题引出三个方程均含有三个未知数的三元一次方程组，和学生一起探求出解决的
整体思路.然后让学生自行求解，使其进一步理解三元一次方程组的求解方法，培养计算能力.
教师提问：依题意可得什么？
预测学生做法：得出方程组
教师活动设计：引导学生观察方程组的特点，此方程组与前面不一样，三个方程都不缺“谁”，消谁
好，用什么方法消？
预测学生做法：消 c，因为系数相同，用加减消元，要消两次，由①②式消去 c，再由②③式消去 c，
转化为关于 a、b 的二元一次方程组
教师活动设计：提问用①③式消 c 行不行？
3 4 7
2 9
2 1
x z
x y z
x y z
+ =
+ + =
− + =
0
4 2 3
25 5 60
a b c
a b c
a b c
− + =
+ + =
+ + =
②
①
③
②
①
③预测学生做法：可以用①③式消 c.在老师的引导下体会两个未知数一般需要两个方程才能求解，消两
次目的就是得到关于 a、b 的二元一次方程组，选择①②或②③或①③中的其中两个消就可以实现.
教师活动设计：在前面例题和练习的基础上，对本课解过的三个方程组进行比较，谈谈解决的方法.
总结求解三元一次方程组的整体思路——消元，实现三元——二元——一元的转化.在消元过程中，
消“谁”都行，用那种消法（代入法、加减法）也可，但如果选择合适，可提高计算的效率. 具体做
法是：①如果已有某个未知数的表达式，直接用代入消元，否则常用加减消元.②用加减消元时，如
果方程组中有至少一个方程只有两个未知数，缺哪个未知数就消哪个.③用加减消元时，如果方程组
中三个方程均含有三个未知数，通常要进行两次消元才能转化为二元一次方程组.
(3). “小试牛刀”——看谁反应快
请说说你会如何进行消元？
设计意图：由于书写求解三元一次方程组的过程需要较多的时间，所以在课堂有限的 40 分钟内希望
借助这种观察、用多种方法口述方程组的消元过程，突破本课的重难点，提高课堂效率.
教师活动设计：引导学生观察方程组特点，比较消不同未知数、用不同消元方法的优劣，让学生意识
到解方程组要先观察，进一步让学生熟练掌握选择消“谁”，用什么方法消，提高学生的解题能力.这
里采用只说不解，意在检查学生对三元一次方程组解法的理解是否到位，对方程组的观察及对解法的
流程是否熟练，提高课堂效率.
(4)．分组竞赛解三元一次方程组
设计意图：让学生理解在求解三元一次方程组时，消哪个元都可以实现，并能熟练的进行消元
学生活动设计：全班分为 3 个组，分别对方程组消 x、消 y、消 z，看哪个组算得快！（本方程组消哪
个元的计算量都差不多，让学生比赛目的是调动学生积极性）
3 4
2 3 12
6
x y z
x y z
x y z
− + =
+ − =
+ + =
2 7
5 3 2 2
3 4 4
y x
x y z
x z
= −
+ + =
− =
2 9
2
2 47
x y
y z
z x
− = −
− =
+ =
2 9
2
2 47
x y
y z
z x
− = −
− =
+ =(5)．课堂小测：解三元一次方程组
设计意图：检查学生是否掌握三元一次方程组的求解.
教师活动设计：观察学生的做题情况，有针对性地讲评.
4、总结拓展
(1)、三元一次方程组的概念
(2)、三元一次方程组的解法
注 意
选 好
要消的“元”，选好要消的“法”.
(3)、谈谈求解多元一次方程组的思路
5、课后作业
2 4 3 3
3 2 5 2
1
x y z
x y z
x y z
+ + = −
− + =
− + =
三元
一次方程组
二元
一次方程组
一元
一次方程
消元 消元
微信/支付宝扫码支付