17.2 勾股定理的逆定理(1)
教学目标
一、知识与技能
1．掌握直角三角形的判别条件．
2．熟记一些勾股数．
3．掌握勾股定理的逆定理的探究方法．
二、过程与方法
1．用三边的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角形，培养学生数形结合的思想．
2．通过对直角三角形判别条件的研究，培养学生大胆猜想，勇于探索的创新精神．
三、情感态度与价值观
1．通过介绍有关历史资料，激发学生解决问题的愿望．
2．通过对勾股定理的逆定理的探究；培养学生学习数学的兴趣和创新精神．
教学重点
探究勾股定理的逆定理，理解互逆命题，原命题、逆命题的有关概念及关系．
教学难点
归纳、猜想出命题 2 的结论．
教具准备多媒体课件．
教学过程
一、创设问题情境，引入新课
活动 1 (1)总结直角三角形有哪些性质． (2)一个三角形，满足什么条件是直角三角形?
设计意图：通过对前面所学知识的归纳总结，联想到用三边的关系是否可以判断一个三角形
为直角三角形，提高学生发现反思问题的能力．
师生行为：学生分组讨论，交流总结；教师引导学生回忆．
本活动，教师应重点关注学生：①能否积极主动地回忆，总结前面学过的旧知识；②能否“温
故知新”．
生：直角三角形有如下性质：(1)有一个角是直角；(2)两个锐角互余，(3)两直角边的平方
和等于斜边的平方： (4)在含 30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一
半．
师：那么，一个三角形满足什么条件，才能是直角三角形呢?生：有一个内角是 90°，那么这个三角形就为直角三角形．
生：如果一个三角形，有两个角的和是 90°，那么这个三角形也是直角三角形．
师：前面我们刚学习了勾股定理，知道一个直角三角形的两直角边 a，b，斜边 c 具有一定
的数量关系即 a2＋b2＝c2，我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是否为直
角三角形呢?我们来看一下古埃及人如何做?
二、讲授新课
活动 2 问题：据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根长蝇打上等距离的 13 个结，然
后以 3 个结，4 个结、5 个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直
角．
这个问题意味着，如果围成的三角形的三边分别为 3、4、5．有下面的关系“32＋42＝52”．那
么围成的三角形是直角三角形．
画画看，如果三角形的三边长分别为 2.5cm，6cm，6.5cm，有下面的关系，“2.5 2＋62＝
6.52，画出的三角形是直角三角形吗?换成三边长分别为 4cm、7.5cm、8.5cm．再试一试．
设计意图：由特殊到一般，归纳猜想出“如果三角形三边 a，b，c 满足 a2＋b2＝c2，那么这
个三角形就为直角三角形的结论，培养学生动手操作能力和寻求解决数学问题的一般方
法．
师生行为让学生在小组内共同合作，协手完成此活动．教师参与此活动，并给学生以提示、
启发．在本活动中，教师应重点关注学生：①能否积极动手参与．②能否从操作活动中，用
数学语言归纳、猜想出结论．③学生是否有克服困难的勇气．
生：我们不难发现上图中，第(1)个结到第(4)个结是 3 个单位长度即 AC＝3；同理 BC＝4，AB
＝5．因为 32＋42＝52．我们围成的三角形是直角三角形．
生：如果三角形的三边分别是 2.5cm，6cm，6.5cm．我们用尺规作图的方法作此三角形，经
过测量后，发现 6.5cm 的边所对的角是直角，并且 2.52＋62＝6.52．
再换成三边分别为 4cm，7.5cm，8.5cm 的三角形，目标可以发现 8.5cm 的边所对的角是直角，
且也有 42＋7.52＝8.52．是不是三角形的三边只要有两边的平方和等于第三边的平方，就能得到一个直角三角形呢?
活动 3 下面的三组数分别是一个三角形的三边长 a，b，c
5，12，13；7，24，25；8，15，17．
(1)这三组数都满足 a2＋b2＝c2 吗?
(2)分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗?
设计意图：本活动通过让学生按已知数据作出三角形，并测量三角形三个内角的度数来进一
步获得一个三角形是直角三角形的有关边的条件．
师生行为：学生进一步以小组为单位，按给出的三组数作出三角形，从而更加坚信前面猜想
出的结论.
教师对学生归纳出的结论应给予解释，我们将在下一节给出证明．本活动教师应重点关注学
生：①对猜想出的结论是否还有疑虑．②能否积极主动的操作，并且很有耐心．
生：(1)这三组数都满足 a2＋b2＝c2．(2)以每组数为边作出的三角形都是直角三角形．
师：很好，我们进一步通过实际操作，猜想结论．
命题 2 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2＋b2＝c2 那么这个三角形是直角三角形．
同时，我们也进一步明白了古埃及人那样做的道理．实际上，古代中国人也曾利用相似的方
法得到直角．直至科技发达的今天——人类已跨人 21 世纪，建筑工地上的工人师傅们仍然
离不开“三四五放线法”．
“三四五放线法”是一种古老的归方操作．所谓“归方”就是“做成直角”。譬如建造
房屋，房角一般总是成 90°，怎样确定房角的纵横两线呢?
如下图，欲过基线 MN 上的一点 C 作它的垂线，可由三名工人操作：一人手拿布尺或测
绳的 0 和 12 尺处，固定在 C 点；另一人拿 4 尺处，把尺拉直，在 MN 上定出 A 点，再由一人
拿 9 尺处，把尺拉直，定出 B 点，于是连结 BC，就是 MN 的垂线．
建筑工人用了 3，4，5 作出了一个直角，能不能用其他的整数组作出直角呢?
生：可以，例如 7，24，25；8，15，17 等．
据说，我国古代大禹治水测量工程时，也用类似的方法确定直角．
活动 4 问题：命题 1 如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2＋b2＝c2．命题 2 如果三角形的三边长分别为 a，b，c，满足 a2＋b2＝c2 那么这个三角形
是直角三角形．它们的题设和结论各有何关系?
设计意图：认识什么样的两个命题是互逆命题，明白什么是原命题，什么是逆命题?你前面
遇到过有互逆命题吗?
师生行为：学生阅读课本，并回忆前面学过的一些命题．教师认真倾听学生的分析．
教师在本活动中应重点关注学生；①能否发现互逆命题的题设和结论之间的关系．②能否积
极主动地回忆我们前面学过的互逆命题．
生：我们可以看到命题 2 与命题 1 的题设．结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互
逆命题．如果把其中的一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．例如把命题 1 当成原
命题，那么命题 2 是命题 1 的逆命题．
生：我们前面学过平行线的性质和判定．其中“两直线平行，同位角相等”和“同位角相等，
两直线平行”是互逆命题．“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”也
是互逆命题．
生：“两直线平行，同旁内角互补”和“同旁内角互补，两直线平行”也是互逆命题．
三、课时小结
活动 5 问题：你对本节内容有哪些认识?
设计意图：这种形式的小结，激发了学生的主动参与意识，调动了学生的学习兴趣，为每一
位学生都创造了在数学学习活动中获得成功体验的机会，并为程度不同的学生提供了充分展
示自己的机会，尊重学生的个体差异，满足学生多极化学习的需要．
师生行为：教师课前准备卡片，卡片上写出三个数，让学生随意抽出，判断以这三个数为边
的三角形能否构成直角三角形．
在活动 5 中，教师应重点关注学生：(1)不同层次的学生对本节的认知程度．
(2)学生再谈收获是对不同方面的感受．(3)学生独立面对困难和克服困难的能力．17.2 勾股定理的逆定理(2)
一、内容及其分析
本节课学习的主要内容是用勾股定理及逆定理解决实际问题。进一步加深性质定理与判
定定理之间关系的认识。
二、目标及其解析
目标定位：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
目标解析：应用勾股定理及逆定理解决实际问题。勾股定理及其逆定理是我们解直角三角形
的重要方法，所以要让学生养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。
三、问题诊断与分析
学生可能不大理解方位角，方位词，所以要根据题目意思来画图分析可能有些难度，大
多数同学可能画不出图形，更不会用勾股定理的逆定理来解决，但在军事和航海上经常要确
定方向和位置，从而使用一些数学知识和数学方法。
四、教学支持条件分析
板书教学。要让学生体会如何根据题目的方位角和方位词画出正确的图形，运用勾股定
理及其逆定理来解决实际问题。
五、教学过程
问题与例题：
问题一
判断由线段 a,b,c 组成的三角形是不是直角三角形：
（1）a=15,b=8,c=17；
（2）a=13,b=14,c=15.
意图分析：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边
长的平方和是否等于最大边长的和。
问题二
某港口位于东西方向的海岸线上。“远航”号、“海天”号
轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时
航行 16 海里，“海天”号每小时航行 12 海里。它们离开港口一
个半小时后相距 30 海里。如果知道“远航”号沿东北方向航行，
能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
设计意图：
P
N
E
S
Q
R ⑴了解方位角及方位名词；
⑵依题意画出图形；
⑶依题意可得 PR=12×1.5=18，PQ=16×1.5=24，QR=30；
⑷因为 242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理的逆定理，知∠QPR=90°；
⑸∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°。
让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。
问题三
（补充例题）一根 30 米长的细绳折成 3 段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较
短边长 7 米，比较长边短 1 米，请你试判断这个三角形的形状。
设计意图：
⑴若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；
⑵设未知数列方程，求出三角形的三边长 5、12、13；
⑶根据勾股定理的逆定理，由 52+122=132，知三角形为直角三角形。
六、课堂小结
1、常见的方位角和方位词。
2、会根据方位提示正确作图。
3、利用方程思想解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。
七、目标检测
1.小强在操场上向东走 80m 后，又走了 60m，再走 100m 回到原地。小强在操场上向东走
了 80m 后，又走 60m 的方向是 。
2.如图，在操场上竖直立着一根长为 2 米的测影竿，早晨测得
它的影长为 4 米，中午测得它的影长为 1 米，则 A、B、C 三点能
否构成直角三角形？为什么？
B A
C
D八、配餐作业
A 组：
1 ． 一 根 长 24 米 的 绳 子 ， 折 成 三 边 为 三 个 连 续 偶 数 的 三 角 形 ， 则 三 边 长 分 别
为 ，此三角形的形状为 。
2．一根 12 米的电线杆 AB，用铁丝 AC、AD 固定，现已知用去铁丝 AC=15 米，AD=13 米，
又测得地面上 B、C 两点之间的距离是 9 米，B、D 两点之间的距离是 5 米，则电线杆和地面
是否垂直，为什么？
B 组：
如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从
相距 13 海里的 A、B 两个基地前去拦截，六分钟后同时到达 C 地将其拦截。已知甲巡逻艇每
小时航行 120 海里，乙巡逻艇每小时航行 50 海里，航向为北偏西 40°，问：甲巡逻艇的航
向？
E
N
A B
CC 组：
如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地
的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得 AB=4 米，BC=3 米，CD=13 米，DA=
12 米，又已知∠B=90°。
九、课后反思
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