16.1 二次根式(1)
教学内容
二次根式的概念及其运用
教学目标
知识与技能目标： 理解二次根式的概念，并利用 （a≥0）的意义解答具体题目．
过程与方法目标：提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．
情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，
发展学生观察、分析、发现问题的能力．
教学重难点关键
1．重点：形如 （a≥0）的式子叫做二次根式的概念.
2．难点与关键：利用“ （a≥0）”解决具体问题．
教法：1、引导发现法: 通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建
立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识，充分体
现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用。
2、讲练结合法: 在例题教学中，引导学生阅读，与平方根进行类比，获得解决问题的方法
后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。
学法：1、类比的方法 通过观察、类比，使学生感悟二次根式的模型，形成有效的学习策
略。
2、阅读的方法 让学生阅读教材及材料，体验一定的阅读方法，提高阅读能力。
3、分组讨论法 将自己的意见在小组内交换，达到取长补短，体验学习活动中的交流
与合作。
4、练习法 采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他
检，提高学生的素质。
媒体设计：PPT 课件，展台。
课时安排：1 课时。
教学过程
一、复习引入
a
a
a （学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：
问题 1：已知反比例函数 y= ，那么它的图象在第一象限,横、纵坐标相等的点的坐标
是___________．
问题 2：如图，在直角三角形 ABC 中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么 AB 边的长是
__________．
老师点评：
问题 1：横、纵坐标相等，即 x=y，所以 x2=3．因为点在第一象限，所以 x= ，所以
所求点的坐标（ ， ）．
问题 2：由勾股定理得 AB= .
二、探索新知
很明显 、 ，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，
我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”
称为二次根号．
议一议：
1．-1 有算术平方根吗？
2．0 的算术平方根是多少？
3．当 a0）、
、 、- 、 、 （x≥0，y≥0）．
分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数
或 0．
B
A
C
3
x
3
3 3
10
3 10
a
a
2 3 3 1
x x
0 4 2 2 1
x y+ x y+ 解：二次根式有： 、 （x>0）、 、- 、 （x≥0，y≥0）；不是二次
根式的有： 、 、 、 ．
例 2．当 x 是多少时， 在实数范围内有意义？
分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于 0，所以 3x-1≥0，
才能有意义．
解：由 3x-1≥0，得 x≥ .
当 x≥ 时， 在实数范围内有意义．
三、应用拓展
例 3．当 x 是多少时， + 在实数范围内有意义？
分析：要使 + 在实数范围内有意义，必须同时满足 中的 2x+3≥0 和
中的 x+1≠0．
解：依题意，得
由①得：x≥- .
由②得：x≠-1.
当 x≥- 且 x≠-1 时， + 在实数范围内有意义．
例 4 (1)已知 y= + +5，求 的值．(答案: )
(2)若 + =0，求 a2018+b2018 的值．(答案:2)
四、归纳小结
本节课要掌握：
1．形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号．
2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．
五、布置作业
一、选择题
1
x y+
1b −
2 x 0 2 x y+
3 3 1
x
4 2
3 1x −
3 1x −
1
3
1
3 3 1x −
2 3x + 1
1x +
2 3x + 1
1x + 2 3x +
1
1x +
2 3 0
1 0
x
x
+ ≥
+ ≠
3
2
3
2 2 3x + 1
1x +
2 x− 2x − x
y
2
5
1a +
a 1．下列式子，是二次根式的是（ ）
A．- B． C． D．x
2．下列式子，不是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知一个正方形的面积是 5，那么它的边长是（ ）
A．5 B． C． D．以上皆不对
二、填空题
1．形如________的式子叫做二次根式．
2．面积为 a 的正方形的边长为________．
3．负数________平方根．
三、综合提高题
1．某工厂要制作一批体积为 1m3 的产品包装盒，其高为 0.2m，按设计需要，底面应做
成正方形，试问底面边长应是多少？
2．当 x 是多少时， +x2 在实数范围内有意义？
3．若 + 有意义，则 =_______．
4.使式子 有意义的未知数 x 有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．无数
5.已知 a、b 为实数，且 +2 =b+4，求 a、b 的值．
答案:
一、1．A 2．D 3．B
二、1． （a≥0） 2． 3．没有
三、1．设底面边长为 x，则 0.2x2=1，解得：x= ．
2．依题意得： ，
2 3x
x
+
2( 5)x− −
10 2a−
7 3 7 x
4 16 8 1
x
5 1
5
3 x− 3x − 2x−
5a −
a a
5
2 3 0
0
x
x
+ ≥
≠
3
2
0
x
x
≥ −
≠∴当 x>- 且 x≠0 时， ＋x2 在实数范围内没有意义．
3. 4．B 5．a=5，b=-4
板书设计：
16.1 二次根式（1）
情境引入 例 2 学生板演
二次根式的定义 例 3
例 1 例 4 小结
2 3x
x
+3
2
1
316.1 二次根式(2)
教学内容
1． （a≥0）是一个非负数；
2．（ ）2=a（a≥0）．
教学目标
知识与技能目标：理解 （a≥0）是一个非负数和（ ）2=a（a≥0），并利用它们进行
计算和化简．
过程与方法目标：复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出 （a≥0）是一个非负数，
用具体数据结合算术平方根的意义导出（ ）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．
情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，
发展学生观察、分析、发现问题的能力．
教学重难点关键
1．重点： （a≥0）是一个非负数；（ ）2=a（a≥0）及其运用．
2．难点、关键：用分类思想的方法导出 （a≥0）是一个非负数；用探究的方法导
出（ ）2=a（a≥0）．
教法：1、引导发现法: 通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建
立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识，充分体
现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用；
2、讲练结合法: 在例题教学中，引导学生阅读、类比，获得解决问题的方法后配以精讲，
并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。
学法：1、类比的方法 通过观察、类比，使学生理解 （a≥0）是一个非负数和
（ ）2=a（a≥0），形成有效的学习策略。
2、阅读的方法 让学生阅读教材及材料，体验一定的阅读方法，提高阅读能力。
3、分组讨论法 将自己的意见在小组内交换，达到取长补短，体验学习活动中的交流
与合作。
4、练习法 采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他
a
a
a
a a
a
a
a
a
a
a
a检，提高学生的素质。
媒体设计：PPT 课件，展台。
课时安排：1 课时。
教学过程
一、复习引入
（学生活动）口答
1．什么叫二次根式？
2．当 a≥0 时， 叫什么？当 a0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0；
（4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0．
所以上面的 4 题都可以运用（ ）2=a（a≥0）的重要结论解题．
解：（1）因为 x≥0，所以 x+1>0，
（ ）2=x+1.
（2）∵a2≥0，∴（ ）2=a2.
（3）∵a2+2a+1=（a+1）2,（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0 ，∴ =a2+2a+1.
（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2,（2x-3）2≥0,
∴4x2-12x+9≥0，∴（ ）2=4x2-12x+9.
例 3、在实数范围内分解下列因式:
（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3
分析：(略)
五、归纳小结
本节课应掌握：
2
2
( 7) 7
2 4
=
2 2 1a a+ +
3
2
3
2 5 5
5
6
5
6
7
2
( )2
18
2
2
3
2
9
4
( )2
0
2
74 8
( ) ( )2 2
3 5 5 3−
1x + 2a 2 2 1a a+ +
24 12 9x x− +
a
1x +
2a
24 12 9x x− +1． （a≥0）是一个非负数；
2．（ ）2=a（a≥0）;反之:a=（ ）2（a≥0）．
六、布置作业
一、选择题
1．下列各式中 、 、 、 、 、 ，二次根式
的个数是（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
2．数 a 没有算术平方根，则 a 的取值范围是（ ）．
A．a>0 B．a≥0 C．aa，即使 a>a,所以 a 不存在；当 aa，即使-a>a，a-
C． < =
二、填空题
1．- =________．
2( )a−
2(1 2 )x−
2( )a−
2a
2a
2a
2a 2a
2a
2a
2a 2a 2a
2a
2( 2)x −
2a 2a
2 21 12 23 3
+ −
2
3
2
3
2a 2( )a− 2a
2a 2( )a− 2a 2a 2( )a− 2a
2a 2( )a− 2a 2a 2a
0.0004 2．若 是一个正整数，则正整数 m 的最小值是________．
三、综合提高题
1．先化简再求值：当 a=9 时，求 a+ 的值，甲、乙两人的解答如下：
甲的解答为：原式=a+ =a+（1-a）=1；
乙的解答为：原式=a+ =a+（a-1）=2a-1=17．
两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．
2．若│1995-a│+ =a，求 a-19952 的值．
（提示：先由 a-2000≥0，判断 1995-a 的值是正数还是负数，去掉绝对值）
3. 若-3≤x≤2 时，试化简│x-2│+ + 。
答案:一、1．C 2．A
二、1．-0．02 2．5
三、1．甲 甲没有先判定 1-a 是正数还是负数
2．由已知得 a-|2000|≥0，a≥2000
所以 a-1995+ =a， =1995，a-2000=19952，
所以 a-19952=2000．
3. 10-x
板书设计：
16.1 二次根式（3）
情境引入 例 2 学生板演
＝a（a≥0）． 例 3
例 1 练习 小结
21 2a a− +
2 10 25x x− +
2000a −
20m
2(1 )a−
2(1 )a−
2000a −
2( 3)x +
2000a −
2a
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