20.1.2 中位数和众数（1）
【教学目标】
1.知识与技能
（1）知道什么是中位数，能够准确确定出一组数据的中位数，并能说出其代表意义；
（2）知道什么是众数，准确确定出一组数据的众数，并能提出其代表的意义。
2.过程与方法
通过对实际问题情境的探究，形成中位数和众数的概念，感知其代表数据的意义。
3.情感态度和价值观
以积极情感态度投入到探究问题的过程中去，学会从不同的角度看问题和处理问题。
【教学重点】
理解中位数和众数所代表数据的意义。
【教学难点】
能否准确描述出具体问题，中位数和众数的意义。
【教学方法】
自学与小组合作学习相结合的方法。
【课前准备】
教学课件。
【课时安排】
1 课时
【教学过程】
一、复习导入
【过渡】在上节课的学习中，我们学习了平均数的计算及其所能代表的实际意义，现在，我们
来看一下这个简单的问题，看谁能回答的又快又准。
用两种方法计算下列数据的平均数：
30，33，57，57，40，33，30．
（学生回答）
【过渡】大家回答的都很正确，这是我们上节课学习的加权平均数，它代表了一组数据的平均
水平，但是，它是否在任何情况下都适合代表一组数据呢？我们今天就来探讨一下。
二、新课教学
1．中位数
【过渡】在日常生活中，我们经常会听到一些关于平均的话语，比如说我们的课本中的这个问题，某公司员工月收入的资料，大家能计算出它的平均数吗？
（学生回答）
【过渡】从平均数看，这个公司员工的平均收入在 6276 元，但是结合表中的数据，我们发现，
只有 3 名员工的工资是在这个平均值之上的，那这个平均值代表这个公司全体员工月收入水平，你认
为合适吗？
（学生回答）
【过渡】那么我们如何才能更合理的反映员工月收入平均水平？
（学生讨论回答）
根据实际情况，我们使用这样一个数值：一半人月工资高于该数值，另一半人月工资低于该数值，
才能合适的表示平均水平。如何才能得到这样的数值呢？
【过渡】在这里，我们引入这样一个概念：中位数。
将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称处于中间位
置的数为这组数据的中位数。
如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数。
【过渡】现在，大家动手计算一下上表数据中的中位数吧。
【过渡】我们按照从大到小的顺序，将这些数据排列，然后找到处于这些数据中间的数据，即为
3400，这个数就是我们所求的中位数。
【过渡】结合数据，我们发现，有一半员工的收入大于 3400 元，有一半员工的收入小于 3400 元，
能够合理的反映员工的平均收入。
【过渡】对于数据中有极端情况出现下，我们一般采用中位数代表反映该组数据的整体水平。
【过渡】根据中位数的定义，大家总结一下该如何确定一组数据的中位数吧。
第 1 步：排序，由大到小或由小到大。
第 2 步：确定是奇数个数据或偶数个数据。
第 3 步：如果是奇数个数据，中间的数据就是中位数；如果是偶数个数据，中位数是中间两个数
据的平均数。
【过渡】从中位数的定义及确定方法中我们知道，正确的确定中间位置的数是关键。若只有几个
数，那么很好确定。若一组数据的个数为 n，你知道中间位置的数如何确定吗？
【过渡】同样的，需要分奇数与偶数来进行分析。
（1）n 为偶数时，中间位置是第 ， 个。
（2）n 为奇数时，中间位置是第 个。
2
n 12
n +
1
2
n +讲解课本例 4。
2、众数
【过渡】刚刚我们学习了中位数，现在，大家思考一个问题，如果你要应聘问题 1 公司的普通员
工一职，除了中位数之外，你能从工资表格中得到哪些信息？
月收入最多的数据为 3000 元，这说明公司中月收入 3000 元的员工最多。
【过渡】我们一般将其称为众数。
一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。
【过渡】当一组数据有较多的重复数据时，众数往往能更好地反映其集中趋势。
众数是一组数据中出现次数最多的数据，是一组数据中的原数据,而不是相应的次数．众数有可
能不唯一，注意不要遗漏。
讲解课本例 5。
【过渡】我们学习了中位数和众数，现在，大家一起来填一下这个表格。
【练习】填写表格。
【过渡】通过刚刚的填写，你能发现什么吗？
一组数据的中位数是唯一的，但中位数不一定在原数据中出现。
一组数据的众数可能不止一个，也可能没有。
【知识巩固】1、某大学生对新一代无人机的续航时间进行 7 次测试，一次性飞行时间（单位：
分）分别为 20、22、21、26、25、22、25．则这 7 次测试续航时间的中位数是（ C ）
A．22 或 25 B．25 C．22 D．21
2、（1）数据 2，3，14，16，7，8，10，11，13 的中位数是多少；
（2）10 名工人某天生产同一种零件的件数是 15，17，14，10，15，19，17，16，14，12．求这
一天 10 名工人生产零件件数的中位数。
解：（1）把这组数据从大到小排列如下：
2、3、7、8、10、11、13、14、16，
位于中间位置的数是 10，
故中位数为 10.
（2）把这组数据从大到小排列如下：
10、12、14、14、15、15、16、17、17、19，
中位数为：（15+15）÷2=15，
故中位数为 15．
3、某中学为了让学生的跳远在中考体育测试中取得满意的成绩，在锻炼一个月后，学校对九年级一班的 45 名学生进行测试，成绩如下表：
跳远成绩（cm） 160 170 180 190 200 220
人数 3 9 6 9 15 3
这些运动员跳远成绩的中位数和众数分别是（ A ）
A．190，200 B．9，9 C．15，9 D．185，200
4、某家电商场三、四月份出售同一种品牌各种规格的空调，销售台数如下表，根据下表回答下
列问题：
1 匹 1.2 匹 1.5 匹 2 匹
三月 12 20 8 4
四月 16 30 14 8
（1）商场平均每月销售空调多少台？
（2）商场出售的各种规格的空调中，众数落在哪个规格内？
（3）在研究六月份的进货方案时，你认为哪种规格的空调要多进，哪种规格的空调要少进？
解： （1）商店平均每月销售空调为（12+16+20+30+8+14+4+8）÷2=56（台）.
（2）数据 1.2 出现 50 次，出现次数最多，所以众数是 1.2（匹）.
（3）前两个月中销售规格最好的是 1.2 匹，最差的是 2 匹，所以在研究六月份进货时，商店经
理决定 1.2（匹）的空调要多进；2（匹）的空调要少进．
【达标检测】1、若一组数据 1、a、2、3、4 的平均数与中位数相同，则 a 不可能是下列选项中
的（ C ）
A．0 B．2.5 C．3 D．5
2、某校八年级五班有 7 个合作学习小组，各学习小组的人数分别为 5，5，6，x，7，7，6，已
知这组数据的平均数是 6，则这组数据的众数和中位数分别是（ B ）
A．7，6 B．6，6 C．5，5 D．7，7
3、为了调查初中一年级学生每天用于完成课外书面作业的时间，在某校初一 （2）班随机抽查
了 8 名学生，他们每天用于完成课外书面作业所需时间（单位：分）分别为：60，55，30，75，55，
55，65，45，
（1）求这组数据的众数、中位数.
（2）求这 8 名学生每天用于完成课外书面作业的平均时间；如果按照学校要求，初中一年级学
生平均每天用于完成课外书面作业所需时间不能多于 60 分钟，问该班学生每天用于完成课外书面作
业所需的平均时间是否符合学校的要求？
解：（1）在这 8 个数据中，55 出现了 3 次，出现的次数最多，即这组数据的众数是 55；将这 8 个数据按从小到大的顺序排列，其中最中间的两个数据都是 55，即这组数据的中位数是
55．
（2）学生每天用于完成课外书面作业的平均时间为 58 分钟．
∵58＜60，
∴该班学生每天用于完成课外书面作业所需的平均时间符合学校的要求．
4、在我市开展的“‘新华杯’中学双语课外阅读”活动中，某中学为了解八年级 400 名学生读
书情况，随机调查了八年级 50 名学生读书的册数．统计数据如下表所示：
（1）求这 50 个样本数据的众数和中位数；
（2）根据样本数据，估计该校八年级 400 名学生在本次活动中读书多于 2 册的人数。
册数 0 1 2 3 4
人数 2 10 15 17 6
解：（1）∵这组样本数据中，3 出现了 17 次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是 3．
∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是 2，
∴这组数据的中位数为 2.
（2）∵在 50 名学生中，读书多于 2 册的学生有 23 名，有 400×23/50 =184,
∴根据样本数据，可以估计该校八年级 300 名学生在本次活动中读书多于 2 册的约有 184 名．
【板书设计】
1、中位数：
将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称处于中间位
置的数为这组数据的中位数。
如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数。
2、众数：
一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。
【教学反思】
通过开放性的问题设计引发学生思考，使学生在认知结构上产生冲突，使之成为学生重新建构认
知的良好契机。在学生主动探索、思考、发现过程中，体会到中位数的产生过程及实际背景。这样，
学生不但完成了对新知的整合与建构，而且把探索求知、发现新知的权利真正交给了学生。在本节课
中，无论从概念的得出、问题的解决、还是决策的制定，合作与交流贯穿整个教学过程。通过组内讨
论、同桌交流体现了各层次学生对知识的不同理解；在交流过程中，每个学生的思维与智慧都被整个
群体共享，学生对概念的理解更全面，更深入。20.1.2 中位数和众数（2）
【教学目标】
1.知识与技能
能结合具体情境体会平均数、中位数、众数三者的特点与差异，能根据具体问题选择这些统计量
来分析数据。
2.过程与方法
经历整理、描述、分析数据的过程，发展数据分析观念.
3.情感态度和价值观
以积极的情感态度投入到探究问题的过程中去，学会从不同的角度看问题和处理问题。
【教学重点】
理解平均数、中位数和众数所代表数据的意义。
【教学难点】
选择适当的量反映数据的集中趋势。
【教学方法】
自学与小组合作学习相结合的方法。
【课前准备】
教学课件。
【课时安排】
1 课时
【教学过程】
一、复习导入
【过渡】上节课我们认识了中位数和众数这两个表示数据趋势的概念，与平均数相比，这三种
数都有不同的特点，根据不同的情况，我们选择不同的来代表趋势。现在，我们来看一个问题，感受
一下吧。
有 6户家庭的年收入分别为（单位：万元）：4，5，5，6，7，50．你认为这 6 户家庭的年收入
水平大概是多少？
【过渡】大家一起来计算一下这组数据的平均数、中位数和众数吧。
（学生计算回答）
【过渡】通过计算，我们发现，这三个数有一定的差别，尤其是平均数，用哪个表示平均水平
更合适呢？
【过渡】很明显。平均数在这里是不合适代表平均水平的。而众数和中位数差别不大，均可代表。那么，在实际问题中。这三个量我们该如何选择呢？今天我们就来学习一下。
二、新课教学
1．平均数、中位数、众数
【过渡】通过刚刚的问题，结合之前的知识，我们知道，平均数、中位数和众数都可以作为一组
数据的代表，它们各有自己的特点，能够从不同的角度提供信息。在实际应用中，需要分析具体问题
的情况，选择适当的量来代表数据。
【过渡】那么我们究竟该如何进行选择呢？我们一起来看一下课本例 6。
【过渡】针对问题 1，我们将数据进行整理，在解决问题时，用图表整理和描述样本数据，有助
于我们分析数据解决问题。因此，我们将数据整理，课件展示。
问题 1 是简单的求数据的众数、中位数和平均数，根据这几个的定义，我们能够知道，样本数据
中的众数是 15，对应的是月销售额为 15 万元的人数最多；中位数为 18，代表中间的销售额，即有一
半的人大于这个数，一半的人小于这个数。平均数约 20 万元，代表了这个服装部的平均销售额。
【过渡】现在我们来看问题 2，结合 1 中的答案，我们知道，平均数是三个数值里边最大的，因
此，要想确定一个较高的销售目标，这个数值是合适的。
【过渡】而问题 3，我们需要考虑实际问题，如果销售目标太低，不能发挥营业员的潜力，太高，
多数营业员完不成任务，会使营业员失去信心。因此，我们需要找到中间的数值，从上边的结果来看，
中位数 18 万元是比较合适的。
【过渡】从刚刚的问题，我们可以发现，针对具体的问题，我们需要结合实际情况进行分析。
【过渡】现在，大家来总结一下这三种表示方法都有什么特点吧。
平均数计算要用到所有的数据，任何一个数据的变动都会相应引起平均数的变动，它能够充分利
用所有的数据信息，但它受极端值的影响较大。
【过渡】从我们课程最开始的那个问题中可以看出。当一组数据中出现极大或极小的数据时，会
对平均数的大小有很大的影响，因此，在这种情况下，平均数是不适用的。而中位数和众数则不受影响。
中位数仅与数据的排列位置有关，不易受极端值影响，中位数可能出现在所给数据中，也可能不
在所给的数据中．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势，中位数的计算很少。
众数是当一组数据中某一数据重复出现较多时，人们往往关心的一个量，众数不受极端值的影响，
这是它的一个优势，缺点是当众数有多个且众数的频数相对较小时可靠性小，局限性大。
【知识巩固】1、当 5 个整数从小到大排列，其中中位数是 4，如果这个数集的唯一众数是 6，则
这 5 个整数可能的最大的和是（ B ）
A . 20 B . 21 C . 22 D . 23
2、在一组数据 0,1,4,5,8 中插入一个数据 x，使该组数据的中位数为 3，则 x= 2 。
3、判断决策：三个无线电厂家在广告中都声称，它们的半导体收音机产品在正常情况下，产品
的平均寿命是 8 年，商品检验部门为了检查他们宣传的真实性，对三个厂家出售的半导体收音机寿命
进行了抽样统计，结果如下（单位：年）：
甲厂：3、4、5、5、5、7、9、10、12、13、15；
乙厂：3、3、4、5、5、6、8、8、8、10、11；
丙厂：3、3、4、4、4、8、9、10、11、12、13.
请你利用所学统计知识，对上述数据进行分析并回答以下问题：
（1）这三个厂家的广告，分别利用了哪一种反映数据集中趋势的特征数？
（2）如果你是顾客，应选购哪个厂家的产品？为什么？
解：（1）因为甲厂的收音机寿命的平均数是 8 年，众数是 5 年，中位数是 7 年；
乙厂的收音机寿命的平均数约是 6.45 年，众数是 8 年，中位数是 6 年；
丙厂的收音机寿命的平均数约是 7.36 年，众数是 4 年，中位数是 8 年。
所以甲厂选用平均数，乙厂选用众数，丙厂选用中位数。
（2）因为甲厂收音机的平均寿命比乙厂、丙厂的都高，因此，顾客应选购甲厂的产品。
【达标检测】1、在体育课上，初三年级某班 10 名男生“引体向上”的成绩（单位：次）分别是
9，14，10，15，7，9，16，10，11，9，这组数据的众数、中位数、平均数依次是（ D ）
A. 10，8，11 B. 10，8，9
C. 9，8，11 D. 9，10，11
2、一组数据，若改变其中一个数据，这组数据的“平均数”、“中位数”、“众数”这三个量中，
下列说法：①三个量一定都会发生变化；②“平均数”一定变化；③“众数”一定不变化；④“中位
数”、“众数”不一定变化．其中正确的有（ D ）
A. ①② B. ④ C. ②③ D. ②④3、在 08 年的金融危机后，有 10 名财经专家对此次金融危机给中国带来的损失做了初步的估计，
方案 1：所有专家估计值的平均数．
方案 2：在所有专家估计值中，去掉一个最高值和一个最低值，再计算其余的平均数．
方案 3：所有专家估计值的中位数．
方案 4：所有专家估计值的众数．
为了探究上述方案的合理性，下面是此次金融危机对中国带来损失的统计图：
（1）分别按上述 4 个方案计算此次金融危机给中国带来的损失值；
（2）根据（1）中的结果，用统计的知识说明哪些方案不适合此次金融危机给中国带来的损失。
解：（1）方案 1：平均数为：
1 /10 （3.2+7.0+7.8+3×8+3×8.4+9.8）=7.7
方案 2：平均数为：
1 /8（7.0+7.8+3×8+3×8.4）=8
方案 3：中位数即按从小到大的顺序排列得到的第五个，第六个数的平均值为 8.
方案 4：8 和 8.4 出现的次数均为 3 次，所以众数为 8 或 8.4。
（2）因为方案 1 中的平均数受极端数值的影响，不能反映这组数据的“平均水平”，
所以方案 1 不适合作为最后的方案。
因为方案 4 中的众数有两个，众数失去了实际意义，
所以方案 4 不适合作为最后的方案。
【板书设计】
1、平均数：
数据中出现极端数据时，影响较大。
2、中位数：
不易受极端值影响，计算较少。
3、众数：
不受极端值的影响。
众数有多个且众数的频数相对较小时可靠性小，局限性大。【教学反思】
通过开放性的问题设计引发学生思考，使学生在认知结构上产生冲突，使之成为学生重新建构认
知的良好契机。在学生主动探索、思考、发现过程中，体会到中位数的产生过程及实际背景。这样，
学生不但完成了对新知的整合与建构，而且把探索求知、发现新知的权利真正交给了学生。在本节课
中，无论从概念的得出、问题的解决、还是决策的制定，合作与交流贯穿整个教学过程。通过组内讨
论、同桌交流体现了各层次学生对知识的不同理解；在交流过程中，每个学生的思维与智慧都被整个
群体共享，学生对概念的理解更全面，更深入。
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