5.4 一元一次方程的应用
第2课时 等积变形问题
知识点1 周长问题
1. 如果一个长方形的周长是360 cm，长是宽的2倍，那么这个长方形的长是( )
A. 60 cm B. 120 cm C. 180 cm D. 240 cm
图5－4－2
2. 用钢筋围成如图5－4－2所示的窗框，共用去钢筋600厘米，若设窗框上面部分半圆的半径为x厘米，则可列方程为___________________________________________________
______________．
3．用一根细绳可围成边长为7 cm的正方形，若能用此细绳改围成长比宽大2 cm的长方形，则该长方形的长、宽分别是多少厘米？
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知识点2 面积问题
4．一个面积为12 cm2的长方形可拼成一个与它面积相等且一边长为3 cm的三角形，则该三角形这一边上的高为( )
A．4 cm B．8 cm C．6 cm D．12 cm
5．如图5－4－3所示，小明将一个正方形纸片剪去一个宽为4厘米的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5厘米的长条．如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为多少？
图5－4－3
知识点3 体积问题
6．用一个棱长为20厘米的正方体容器(已装满水)向一个长、宽、高分别是50厘米、10厘米和8厘米的长方体铁盒内倒水，当铁盒内装满水时，正方体容器中水的高度下降了( )
A．5厘米 B．10厘米
C．15厘米 D．20厘米
7．在一个底面半径为20 cm的圆柱体水桶里，有一个底面半径为10 cm的圆柱体钢材完全浸没在水中，把钢材从桶里取出后，桶里的水面下降了3 cm，则这段钢材的高是________cm.
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8．某车间要锻造直径为40毫米，高为45毫米的圆柱形零件毛坯，需截取直径为30毫米的圆钢多长？
9．把一个长、宽、高分别为8 cm，7 cm，6 cm的长方体铁块和一个棱长为5 cm的正方体铁块熔炼成一个底面直径为20 cm的圆柱体，则这个圆柱体的高是多少？(结果精确到0.01 cm)
10．2017·宁波模拟有一玻璃密封器皿如图5－4－4①，测得其底面直径为20 cm，高为20 cm，现内装蓝色溶液若干．将器皿正着放置时，测得液面高10 cm，截面图如图②；将器皿倒着放置时，测得液面高16 cm，截面图如图③，
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则该玻璃密封器皿的总容量为________cm3.(结果保留π)
图5－4－4
11．如图5－4－5(1)是边长为30 cm的正方形纸板，裁掉阴影后将其折叠成图(2)的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是________cm3.
图5－4－5
12．如图5－4－6所示，大李和小李想建一个养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙长22米，其他三边用竹篱笆围成，并在一侧留有1米宽的门．现有长度为54米的竹篱笆．大李计划围成的养鸡场的长比宽多7米；小李计划围成的养鸡场的长比宽多4米，请你通过计算分析，谁的方案能够实现？此时养鸡场的面积是多少？
图5－4－6
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13．民间流传的李白买酒歌谣， 是一道有趣的数学问题：李白街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝完壶中酒．试问酒壶中，原有多少酒. 请你解答此题．
14．用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个长方形侧面和2个正三角形底面组成．硬纸板以如图5－4－7所示两种方法裁剪(裁剪后边角料不再利用)．
A方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个底面．
图5－4－7
现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．
(1)用含x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数；
(2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，则能做多少个盒子？
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详解详析
1．B 2.4x＋240＋πx＝600
3．解：设长方形的长为x cm，则宽为(x－2)cm.
根据题意，得2x＋2(x－2)＝4×7，
解得x＝8.
∴x－2＝6.
答：该长方形的长是8 cm，宽是6 cm.
4．B [解析] 设该三角形这一边上的高为x cm，根据题意，得×3x＝12，解得x＝8.
5．解：设该正方形的边长为x厘米，
由题意得4x＝5(x－4)．
解得x＝20.
4x＝80.
答：每一个长条的面积是80平方厘米．
6．B 7.12
8．解：设需截取直径为30毫米的圆钢x毫米．
根据题意，得π××45＝π××x.
整理，得400×45＝152×x.
解得x＝80.
答：需截取直径为30毫米的圆钢80毫米．
9.解：设这个圆柱体的高是x cm，根据题意，得
8×7×6＋53＝π×()2·x.
解方程得x≈1.47.
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答：这个圆柱体的高约为1.47 cm.
10．1400π
11．1000(cm3)．
12．解：由大李的方案可以设宽为x米，则长为(x＋7)米，由题意得
2x＋(x＋7)＝54＋1，解得x＝16.
因此大李设计的养鸡场的长为16＋7＝23(米)，而墙的长度只有22米，所以大李的设计方案不能够实现．
由小李的方案可以设宽为y米，则长为(y＋4)米，由题意得
2y＋(y＋4)＝54＋1，解得y＝17.
因此小李设计的养鸡场的长为17＋4＝21(米)，而墙的长度有22米，显然小李的设计方案能够实现．
此时养鸡场的面积为17×21＝357(米2)．
13．解：设酒壶中原有x斗酒，则李白饮酒的过程可用表格表示如下．
饮酒的过程
酒壶中存酒
A加酒
2x
B喝酒
2x－1
C加酒
2(2x－1)
D喝酒
2(2x－1)－1
E加酒
2[2(2x－1)－1]
F喝酒
0
根据题意可列方程2[2(2x－1)－1]＝1，
解得x＝.
答：酒壶中原有斗酒．
14． 解：(1)裁剪出的侧面个数为6x＋4(19－x)＝2x＋76，
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裁剪出的底面个数为5(19－x)＝－5x＋95.
(2)由题意，得＝，
解得x＝7.
当x＝7时，＝30，
∴能做30个盒子．
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