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相交线与平行线
章末小结与提升
相
交
线
与
平
行
线
{相交线{两条直线相交{一般情况:邻角互补,对顶角相等
相交成直角:在同一平面内,过一点有且只有 一 条直线与已知直线垂直
点到直线的距离:垂线段最短
两条直线被第三条直线所截:同位角、内错角、同旁内角
平行线{定义:在同一平面内,不相交的两条直线
平行公理及推论{平行公理:经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
推论:如果b ∥ a,c ∥ a,那么 b ∥ c
平行线的判定方法{同位角相等,两直线平行
内错角相等,两直线平行
同旁内角互补,两直线平行
平行线的性质{两直线平行,同位角相等
两直线平行,内错角相等
两直线平行,同旁内角互补
命题{定义:判断一件事情的语句
组成{题设:已知事项
结论:由已知事项推出的事项
分类{真命题(正确的命题,如公理、定理)
假命题(错误的命题)
平移{性质{新图形与原图形的形状和大小 完全相同
对应点所连线段 相等 且平行(或在同一条直线上)
作图:找出平移方向、距离,确定关键点
类型 1 邻补角和对顶角
典例 1
如图,已知直线 AB,CD 相交于点 O,OA 平分∠EOC,∠EOD=70°,则∠BOD 的大小为 ( )
A.25° B.35° C.45° D.55°2
【解析】∵∠EOD=70°,∴∠EOC=180°-70°=110°.∵OA 平分∠EOC,∴∠AOC=1
2∠EOC=55°,
∴∠BOD=∠AOC=55°.
【答案】 D
【针对训练】
1.如图,三条直线 AB,CD,EF 相交于点 O,若∠AOD=3∠FOD,∠AOE=120°,则∠COE 的度数为(A)
A.30° B.40° C.50° D.60°
2.如图①,两条直线交于一点,图中共有(4 - 2) × 4
4 =2 对对顶角;如图②,三条直线交于一点,
图中共有(6 - 2) × 6
4 =6 对对顶角;如图③,四条直线交于一点,图中共有(8 - 2) × 8
4 =12 对对顶
角;…;按这样的规律,六条直线交于一点,那么图中共有 30 对对顶角.(只填数字)
类型 2 垂线
典例 2 如图,直线 AB,CD 相交于点 O,射线 OM 平分∠AOC,ON⊥OM,若∠AOM=30°,则
∠CON 的度数为 ( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
【解析】∵射线 OM 平分∠AOC,∴∠AOM=∠MOC.∵∠AOM=30°,∴∠MOC=30°.∵ON⊥OM,∴
∠CON=60°.
【答案】 D
【针对训练】
1.已知 OA⊥OB,O 为垂足,且∠AOC∶∠AOB=1∶2,则∠BOC 是 (C)
A.45° B.135°
C.45°或 135° D.60°或 20°3
2.如图,已知 AO⊥OB,CO⊥DO,∠BOC=β°,则∠AOD 的度数为 (C)
A.β°-90° B.2β°-90°
C.180°-β° D.2β°-180°
类型 3 平行线的判定
典例 3
如图,所给条件:①∠C=∠ABE,②∠C=∠DBE,③∠A=∠ABE,④∠CBE+∠C=180°中,能判定 BE
∥AC 的有 ( )
A.①②③ B.①②④
C.①③④ D.②③④
【解析】①∠C=∠ABE,这两角既不是同位角也不是内错角,不能判定 BE∥AC;②∠C=∠DBE,
由同位角相等,两直线平行,可判断 EB∥AC;③∠A=∠ABE,由内错角相等,两直线平行,可判
断 EB∥AC;④∠CBE+∠C=180°,由同旁内角互补,两直线平行,可判断 EB∥AC.
【答案】 D
【针对训练】
1.一次数学活动中,检验两条纸带①、②的边线是否平行,小明和小丽采用两种不同的方法:
小明对纸带①沿 AB 折叠,量得∠1=∠2=50°;小丽对纸带②沿 GH 折叠,发现 GD 与 GC 重
合,HF 与 HE 重合.则下列判断正确的是 (B)
A.纸带①的边线平行,纸带②的边线不平行
B.纸带①的边线不平行,纸带②的边线平行
C.纸带①②的边线都平行
D.纸带①②的边线都不平行4
2.如图,直线 a⊥b,垂足为 O,△ABC 与直线 a,b 分别交于点 E,F,且∠C=90°,EG,FH 分别平
分∠MEC 和∠NFC.
(1)填空:∠OEC+∠OFC= 180° ;
(2)求证:EG∥FH.
解:(2)由(1)知∠OEC+∠OFC=180°,
因为∠MEC=180°-∠OEC,∠NFC=180°-∠OFC,所以∠MEC+∠NFC=(180°-∠OEC)+(180°-∠
OFC)=360°-(∠OEC+∠OFC)=360°-180°=180°,
因为 EG,FH 分别平分∠MEC 和∠NFC,
所以∠CEG=1
2∠MEC,∠CFH=1
2∠NFC,
所以∠CEG+∠CFH=1
2(∠MEC+∠NFC)=1
2×180°=90°.
过 C 点作 CD∥EG 交 AB 于点 D,
所以∠CEG=∠DCE.
因为∠DCE+∠DCF=90°,∠CEG+∠CFH=90°,
所以∠DCF=∠CFH,所以 CD∥FH.
又因为 CD∥EG,所以 EG∥FH.
类型 4 平行线的性质
典例 4
如图,直线 a,b 被直线 c 所截,若 a∥b,∠1=50°,∠2=65°,则∠3 的度数为 ( )
A.110° B.115°
C.120° D.130°5
【解析】∵a∥b,∠1=50°,∠2=65°,∴∠4=∠1=50°,∴∠2+∠4=65°+50°=115°,∴∠
3=∠2+∠4=115°.
【答案】 B
【针对训练】
1.如图,AB∥CD,∠BED=61°,∠ABE 的平分线与∠CDE 的平分线交于点 F,则∠DFB= (B)
A.149° B.149.5°
C.150° D.150.5°
2.如图 1,AB∥CD,EOF 是直线 AB,CD 间的一条折线.
(1)试证明:∠O=∠BEO+∠DFO;
(2)如果将折一次改为折两次,如图 2,则∠BEO,∠O,∠P,∠PFC 之间会满足怎样的数量关系,
证明你的结论.
解:(1)作 OM∥AB,如图①,∴∠1=∠BEO.
∵AB∥CD,∴OM∥CD,∴∠2=∠DFO,
∴∠1+∠2=∠BEO+∠DFO,
即∠EOF=∠BEO+∠DFO.
(2)∠EOP+∠PFC=∠BEO+∠OPF.
理由:作 OM∥AB,PN∥CD,如图②.
∵AB∥CD,∴OM∥PN∥AB∥CD,
∴∠1=∠BEO,∠2=∠3,∠4=∠PFC,
∴∠1+∠2+∠PFC=∠BEO+∠3+∠4,
∴∠EOP+∠PFC=∠BEO+∠OPF.6
类型 5 平移作图及性质
典例 5 如图,线段 AB=CD,AB 与 CD 相交于点 O,且∠AOC=60°,CE 是由 AB 平移所
得,AC 与 BD 不平行,则 AC+BD 与 AB 的大小关系是:AC+BD AB.(填“>”“DE=AB,即 AC+BD>AB.当 D,B,E 三点共线时,AC+BD=AB,∵AC 和 BD
不平行,∴D,B,E 三点不能共线.综上可知 AC+BD>AB.
【答案】 >
【针对训练】
1.如图是一块从一个边长为 50 cm 的正方形材料中剪出的垫片(正方形 BCDM 中,BC=50 cm),
现测得 FG=5 cm,则这个剪出的图形的周长是 210 cm.
2.如图,长方形 ABCD 中,AB=5 cm,AD=8 cm.若将该长方形沿 AD 方向平移一段距离,得到长方
形 EFGH.
(1)长方形 ABFE 与长方形 DCGH 的面积是否相等?为什么?
(2)将长方形 ABCD 平移多长距离,能使两长方形的重叠部分 FCDE 的面积是 35 cm2?7
解:(1)面积相等.∵长方形 EFGH 是由长方形 ABCD 平移得到的,∴长方形 ABCD 的面积和长方
形 EFGH 的面积相等,∴长方形 ABFE 与长方形 DCGH 的面积相等.
(2)设 AE=x,根据题意列出方程 5(8-x)=35,解得 x=1.
∵点 A 的对应点为 E,∴平移距离为 AE 的长,
∴向右平移 1 cm,能使两长方形的重叠部分 FCDE 的面积是 35 cm2.
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