小专题(六) 构造全等三角形的方法技巧
方法 1 利用“角平分线”构造全等三角形
【方法归纳】 因角平分线本身已经具备全等的三个条件中的两个(角相等和公共边相等)，故在
处理角平分线问题时，常作以下辅助线构造全等三角形：
(1)在角的两边截取两条相等的线段；
(2)过角平分线上一点作角两边的垂线．
1．如图，AB∥CD，BE 平分∠ABC，CE 平分∠BCD，点 E 在 AD 上，求证：BC＝AB＋CD.
证明：在 BC 上截取 BF＝AB，连接 EF.
∵∠ABC、∠BCD 的平分线交 AD 于点 E，
∴∠ABE＝∠FBE，∠BCE＝∠DCE，
在△ABE 和△FBE 中，
{AB＝FB，
∠ABE＝∠FBE，
BE＝BE，
∴△ABE≌△FBE.
∴∠BAE＝∠BFE.
∵AB∥CD，
∴∠BAE＋∠CDE＝180°.
∴∠BFE＋∠CDE＝180°.
∵∠BFE＋∠CFE＝180°，
∴∠CFE＝∠CDE.
在△FCE 和△DCE 中，
{∠CFE＝∠CDE，
∠FCE＝∠DCE，
CE＝CE，
∴△FCE≌△DCE.
∴CF＝CD.
∴BC＝BF＋CF＝AB＋CD.2．如图，已知∠AOB＝90°，OM 是∠AOB 的平分线，三角尺的直角顶点 P 在射线 OM 上滑动，
两直角边分别与 OA，OB 交于点 C，D，求证：PC＝PD.
证明：过点 P 作 PE⊥OA 于点 E，
PF⊥OB 于点 F.
∴∠PEC＝∠PFD＝90°.
∵OM 是∠AOB 的平分线．
∴PE＝PF.
∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，
∴∠PCE＋∠PDO＝360°－90°－90°＝180°.
而∠PDO＋∠PDF＝180°，
∴∠PCE＝∠PDF.
在△PCE 和△PDF 中，
{∠PCE＝∠PDF，
∠PEC＝∠PFD，
PE＝PF.
∴△PCE≌△PDF(AAS)．
∴PC＝PD.
方法 2 利用“截长补短法”构造全等三角形
【方法归纳】 截长补短法的具体做法：在某一条线段上截取一条线段与特定线段相等，或将
某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种方法适用于证
明线段的和、差、倍、分等类的题目．
3．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，∠C＝2∠B，试判断 AB，AC，CD 三者之间的数量关系，
并说明理由．(想一想，你会几种方法)解：AB＝AC＋CD.理由：
方法 1：在 AB 上截取 AE＝AC，连接 DE.
易证△AED≌△ACD(SAS)，
∴ED＝CD，∠AED＝∠C.
∵∠AED＝∠B＋∠EDB，
∴∠C＝∠AED＝∠B＋∠EDB.
又∵∠C＝2∠B，
∴∠B＝∠EDB.
∴BE＝DE.
∴AB＝AE＋BE＝AC＋DE＝AC＋CD.
方法 2：延长 AC 到点 F，使 CF＝CD，连接 DF.
∵CF＝CD，
∴∠CDF＝∠F.
∵∠ACB＝∠CDF＋∠F，
∴∠ACB＝2∠F.
又∵∠ACB＝2∠B，
∴∠B＝∠F.
又∵∠BAD＝∠FAD，AD＝AD，
∴△ABD≌△AFD(AAS)．
∴AB＝AF＝AC＋CF＝AC＋CD.
4．如图，在△ABC 中，∠A＝60°，BD，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB，BD，CE 交于点 O，试判
断 BE，CD，BC 的数量关系，并加以证明．解：BC＝BE＋CD.
证明：在 BC 上截取 BF＝BE，连接 OF.
∵BD 平分∠ABC，
∴∠EBO＝∠FBO.
又∵OB＝OB，
∴△EBO≌△FBO.
∴∠EOB＝∠FOB.
∵∠A＝60°，BD，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB，
∴∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－ 1
2∠ABC－1
2∠ACB＝180°－ 1
2(180°－∠A)＝
120°.
∴∠EOB＝∠DOC＝60°.
∴∠BOF＝60°，∠FOC＝∠DOC＝60°.
∵CE 平分∠DCB，
∴∠DCO＝∠FCO.
又∵OC＝OC，
∴△DCO≌△FCO.
∴CD＝CF.
∴BC＝BF＋CF＝BE＋CD.
5．如图，AD∥BC，DC⊥AD，AE 平分∠BAD，E 是 DC 的中点．问：AD，BC，AB 之间有何关
系？并说明理由．解：AB＝AD＋BC.
理由：作 EF⊥AB 于 F，连接 BE.
∵AE 平分∠BAD，DC⊥AD，EF⊥AB，AD∥BC，
∴EF＝DE，DC⊥BC.
∵DE＝CE，
∴EC＝EF.
∴Rt△BFE≌Rt△BCE(HL)．
∴BF＝BC.
同理可证：AF＝AD.
∴AD＋BC＝AF＋BF＝AB，
即 AB＝AD＋BC.
方法 3 利用“倍长中线法”构造全等三角形
【方法归纳】 将中点处的线段延长一倍，然后利用 SAS 证三角形全等．
6．已知：如图，AD，AE 分别是△ABC 和△ABD 的中线，且 BA＝BD.求证：AE＝1
2AC.
证明：延长 AE 至 F，使 EF＝AE，连接 DF.
∵AE 是△ABD 的中线，
∴BE＝DE.
∵∠AEB＝∠FED，
∴△ABE≌△FDE.
∴∠B＝∠BDF，AB＝DF.
∵BA＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA，BD＝DF.
∵∠ADF＝∠BDA＋∠BDF，∠ADC＝∠BAD＋∠B，
∴∠ADF＝∠ADC.∵AD 是△ABC 的中线，
∴BD＝CD.
∴DF＝CD.
又∵AD＝AD，
∴△ADF≌△ADC(SAS)．
∴AC＝AF＝2AE，即 AE＝1
2AC.
7．如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点 M 为 BC 的中点，求证：DE＝2AM.
证明：延长 AM 至 N，使 MN＝AM，连接 BN.
∵点 M 为 BC 的中点，
∴BM＝CM.
又∵∠BMN＝∠CMA，
∴△AMC≌△NMB(SAS)．
∴AC＝BN，∠C＝∠NBM，∠ABN＝∠ABC＋∠C＝180°－∠BAC＝∠EAD.
又∵BN＝AC＝AD，AB＝EA，
∴△ABN≌△EAD(SAS)．
∴DE＝NA.
∴DE＝2AM.
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