《第12章全等三角形》单元测试(3)含答案解析.doc

‎《第12章 全等三角形》‎ ‎　‎ 一、选择题如图，5个全等的正六边形，A、B、C、D、E，请仔细观察A、B、C、D四个答案，其中与右方图案完全相同的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．下列说法不正确的是（　　）‎ A．两个三角形全等，形状一定相同 B．两个三角形全等，面积一定相等 C．一个图形经过平移、旋转、翻折后，前后两个图形一定全等 D．所有的正方形都全等 ‎3．若△ABC≌△DEF，△ABC的周长为15，且AB=6，BC=4，则DF的长为（　　）‎ A．4 B．‎5 ‎C．6 D．7‎ ‎4．如图，在2×2的方格纸中，∠1+∠2等于（　　）‎ A．60° B．90° C．120° D．150°‎ ‎5．如图，△ABE≌△ACD，AB=AC，BE=CD，∠B=60°，∠AEC=120°，则∠DAC的度数等于（　　）‎ A．120° B．70° C．60° D．50°‎ ‎6．如图，△ACB≌△A′CB′，∠A′CB′=65°，∠A′CB=35°，则∠ACA′的度数（　　）‎ 第47页（共47页）‎ A．20° B．30° C．35° D．40°‎ ‎7．如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（　　）‎ A．AD=AE B．∠AEB=∠ADC C．BE=CD D．AB=AC ‎8．长为‎3cm，‎4cm，‎6cm，‎8cm的木条各两根，小明与小刚分别取了‎3cm和‎4cm的两根，要使两人所拿的三根木条组成的两个三角形全等，则他俩取的第三根木条应为（　　）‎ A．一个人取‎6cm的木条，一个人取‎8cm的木条 B．两人都取‎6cm的木条 C．两人都取‎8cm的木条 D．C两种取法都可以 ‎9．下列条件中，不能判定△ABC≌△A1B‎1C1的是（　　）‎ A．AB=A1B1，∠A=∠A1，AC=A‎1C1 B．AB=A1B1，BC=B‎1C1，AC=A‎1C1‎ C．AB=A1B1，∠B=∠B1，∠C=∠C1 D．AC=A‎1C1，AB=A1B1，∠B=∠B1‎ ‎10．如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（　　）‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ‎11．根据下列已知条件，能画出唯一△ABC的是（　　）‎ A．AB=3，BC=4，AC=7 B．AB=4，BC=3，∠C=30°‎ 第47页（共47页）‎ C．∠A=30°，AB=3，∠B=45° D．∠C=90°，AB=4‎ ‎12．如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=60°，∠C=25°，则∠BMD的度数为（　　）‎ A．50° B．65° C．70° D．85°‎ ‎13．在△ABC中，O为∠CAB和∠CBA的角平分线的交点，若∠AOB=120°，则∠C的度数为（　　）‎ A．120° B．60° C．50° D．30‎ ‎14．如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边的F处，若∠BAF=60°，则∠DAE等于（　　）‎ A．15° B．30° C．45° D．60°‎ ‎15．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，则∠ABC的大小是（　　）‎ A．40° B．45° C．50° D．60°‎ ‎16．下列说法中：①角平分线的点到角的两边的距离相等；②一条射线上的点到角的两边的距离相等，则这条射线是角的平分线；③有一直角边和一锐角相等两个直角三角形全等；④有两边和一角对应相等的两个三角形全等；⑤对应角相等的两个三角形是全等的；⑥面积相等两个三角形全等．其中不正确的说法有（　　）‎ 第47页（共47页）‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ‎17．尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP．由作法得△OCP≌△ODP的根据是（　　）‎ A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS ‎18．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（　　）‎ A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去 ‎19．在△ABC中，∠B=90°，CD平分∠ACB，DE⊥AC于点E，若AB=‎4cm，则AD+DE的值为（　　）‎ A．‎3cm B．‎4cm C．‎5cm D．‎‎6cm ‎20．如图是5×5的正方形网格中，以D、E为顶点作位置不同的格点的三角形与△ABC全等，这样格点三角形最多可以画出（　　）‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ‎　‎ 第47页（共47页）‎ 二、填空题：‎ ‎21．将△ABC沿BC方向平移‎3cm得到△DEF，则CF=　　；若∠A=80°，∠B=60°，则∠F=　　．‎ ‎22．如果两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形　　，它也能充分告诉我们：三角形具有　　．‎ ‎23．如图EB交AC于M，交FC于D，AB交FC于N，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF．给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论有　　（填序号）．‎ ‎24．如图所示，△BDC′是将长方形纸牌ABCD沿着BD折叠得到的，图中（包括实线、虚线在内）共有全等三角形　　对．‎ ‎25．已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出　　个．‎ ‎26．如图，AB⊥AC，且AB=AC，BN⊥AN，CM⊥AN，若BN=3，CM=5，则MN=　　．‎ ‎27．如图，AB∥CD，O为∠BAC、∠DCA的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于　　．‎ 第47页（共47页）‎ ‎28．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，AB=10，BD是∠ABC平分线，DE⊥AB，垂足为E，则△ADE的周长为　　．‎ ‎29．如下面三个图均有AB=AC，BD=CE，图②在图①的基础上连结了AO，图③在图②的基础上连结了BC，则图①、图②、图③的全等三角形的对数分别为　　 对，　　 对，　　 对．‎ ‎30．△ABC中，AB=10，BC=16，D为AC的中点，则中线BD的取值范围为　　．‎ ‎　‎ 三、作图解答题：‎ ‎31．已知△ABC．‎ ‎（1）请用尺规作图的方法在△ABC内求作一点O，使点O到三边的距离相等．（不写作法，但要保留作图痕迹）‎ ‎（2）若△ABC的周长为60，面积为150，试求点O到三边AB、BC、AC的距离分别是多少？‎ ‎32．在平面直角坐标系xOy中，△ABC的一直角顶点C恰好在坐标原点上，CA、CB分别落在坐标轴（见图示），AC=4，BC=3，AB=5；第一次以点B为定点翻转，边BA落在x轴上；第二次以点A为定点翻转，边AC落在x轴上；第三次以点C为定点翻转，边CB落在x轴上；…如此循环．‎ ‎（1）请在第2014次翻转处画出△ABC的形态示意图．‎ 第47页（共47页）‎ ‎（2）翻转后的图形和原三角形是否是全等三角形？为什么？‎ ‎（3）试求第10次翻转后△ABC三个顶点的坐标．（△ABC的三边长按照1：1的单位长度）‎ ‎　‎ 四、解答题 ‎33．如图，已知AB∥CD，AE∥CF，BF=DE 求证：AB=CD．‎ ‎34．如图，已知AB=AD，AC=AE，∠1=∠2‎ 求证：∠B=∠D．‎ ‎35．如图所示，在△ABC中，AB=AC，M为BC的中点，MD⊥AB于点D，ME⊥AC于点E．‎ 求证：MD=ME．‎ ‎36．如图所示，E为AB延长线上的一点，AC⊥BC，AD⊥BD，AC=AD 求证：∠CEA=∠DEA．‎ 第47页（共47页）‎ ‎37．如图，∠ABC=90°，AB=BC，D为AC上一点，分别过C、A作BD的垂线，垂足分别为E、F．求证：EF=CE﹣AF．‎ ‎　‎ 五、解答题：‎ ‎38．如图：将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点F处，已知∠1+∠2=100°，则∠A=　　度．‎ ‎39．如图，OP平分∠AOB，∠AOB=40°，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PC∥OB，交边OA于点C，E为边OB上的一点，且满足PC=PE．求∠EPN的度数？‎ ‎40．如图，BD平分∠ADC，∠A=∠B=90°，OA=OB．求证：CA平分∠DCB．‎ 第47页（共47页）‎ ‎41．在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为CD的中点．求证：S△AEB=SABCD．‎ ‎42．如图，在四边形ABCD中，∠1=∠2，∠3=∠4，∠B=∠D，AF=CE，AB∥CD．‎ 求证：AB=CD．‎ ‎43．如图，已知AB⊥AD，AC⊥AE，AB=AD，AC=AE，BC分别交AD、DE于点G、F，AC与DE交于点H．‎ 求证：（1）△ABC≌△ADE；（2）BC⊥DE．‎ ‎　‎ 六、探究、开放题：‎ ‎44．如图，已知AF∥BE，且AF=BE，AC=BD．请指出图中有哪些全等三角形，并任选一对给予证明．‎ ‎45．已知命题：如图，点B、C、E、F在同一直线上，若AB=AF，∠1=∠2，则△ABE≌△AFC．‎ 请判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请添加一个条件使它成为真命题，并加以证明．‎ 第47页（共47页）‎ ‎46．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD交BD的延长线于点E，则线段BD和CE具有什么数量关系，并证明你的结论．‎ ‎47．如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，且BD⊥l于的D，CE⊥l于的E．‎ ‎（1）求证：BD+CE=DE；‎ ‎（2）当变换到如图②所示的位置时，试探究BD、CE、DE的数量关系，请说明理由．‎ ‎　‎ 第47页（共47页）‎ ‎《第12章 全等三角形》‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题如图，5个全等的正六边形，A、B、C、D、E，请仔细观察A、B、C、D四个答案，其中与右方图案完全相同的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】全等图形．‎ ‎【分析】将选项中的图形绕正六边形的中心旋转，与题干的图形完全相同的即为所求．‎ ‎【解答】解：观察图形可知，‎ 只有选项C中的图形旋转后与图中的正六边形完全相同．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题考查了全等图形以及生活中的旋转现象，旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．‎ ‎　‎ ‎2．下列说法不正确的是（　　）‎ A．两个三角形全等，形状一定相同 B．两个三角形全等，面积一定相等 C．一个图形经过平移、旋转、翻折后，前后两个图形一定全等 D．所有的正方形都全等 ‎【考点】全等图形．‎ ‎【分析】根据全等三角形的性质和全等图形的定义对各选项分析判断利用排除法求解．‎ ‎【解答】解：A、两个三角形全等，形状一定相同，正确，故本选项错误；‎ B、两个三角形全等，面积一定相等，正确，故本选项错误；‎ C、一个图形经过平移、旋转、翻折后，前后两个图形一定全等，正确，故本选项错误；‎ D、只有边长相等的正方形才全等，所以所有的正方形都全等错误，故本选项正确．‎ 故选D．‎ 第47页（共47页）‎ ‎【点评】本题考查了全等图形的定义，熟记全等三角形的性质以及全等图形的概念是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．若△ABC≌△DEF，△ABC的周长为15，且AB=6，BC=4，则DF的长为（　　）‎ A．4 B．‎5 ‎C．6 D．7‎ ‎【考点】全等三角形的性质．‎ ‎【分析】先求出AC，根据全等三角形的性质得出DF=AC，即可得出选项．‎ ‎【解答】‎ 解：∵△ABC的周长为15，AB=6，BC=4，‎ ‎∴AC=15﹣6﹣4=5，‎ ‎∵△ABC≌△DEF，‎ ‎∴DF=AC=5，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用，解此题的关键是能根据全等三角形的性质得出AC=DF，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．‎ ‎　‎ ‎4．如图，在2×2的方格纸中，∠1+∠2等于（　　）‎ A．60° B．90° C．120° D．150°‎ ‎【考点】全等图形．‎ ‎【分析】标注字母，然后利用“边角边”求出△ABC和△DEA全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3，再根据直角三角形两锐角互余求解．‎ ‎【解答】解：如图，在△ABC和△DEA中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABC≌△DEA（SAS），‎ 第47页（共47页）‎ ‎∴∠2=∠3，‎ 在Rt△ABC中，∠1+∠3=90°，‎ ‎∴∠1+∠2=90°．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了全等图形，主要利用了网格结构以及全等三角形的判定与性质，准确识图并确定出全等三角形是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．如图，△ABE≌△ACD，AB=AC，BE=CD，∠B=60°，∠AEC=120°，则∠DAC的度数等于（　　）‎ A．120° B．70° C．60° D．50°‎ ‎【考点】全等三角形的性质．‎ ‎【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BAE，再根据全等三角形对应角相等可得∠DAC=∠BAE．‎ ‎【解答】解：∵∠B=60°，∠AEC=120°，‎ ‎∴∠BAE=∠AEC﹣∠B=120°﹣60°=60°，‎ ‎∵△ABE≌△ACD，‎ ‎∴∠DAC=∠BAE=60°．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．如图，△ACB≌△A′CB′，∠A′CB′=65°，∠A′CB=35°，则∠ACA′的度数（　　）‎ 第47页（共47页）‎ A．20° B．30° C．35° D．40°‎ ‎【考点】全等三角形的性质．‎ ‎【分析】根据全等三角形的性质得出∠A′CB′=∠ACB，求出∠B′CB=∠ACA′，代入=∠BCB′=∠A′CB′﹣∠A′CB求出即可．‎ ‎【解答】解：∵△ACB≌△A′CB′，‎ ‎∴∠A′CB′=∠ACB，‎ ‎∴∠A′CB′﹣∠A′CB=∠ACB﹣∠A′CB，‎ ‎∴∠B′CB=∠ACA′，‎ ‎∵∠A′CB′=65°，∠A′CB=35°，‎ ‎∴∠ACA′=∠BCB′=∠A′CB′﹣∠A′CB=65°﹣35°=30°，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用，解此题的关键是求出∠B′CB=∠ACA′，注意：全等三角形的对应角相等，难度适中．‎ ‎　‎ ‎7．如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（　　）‎ A．AD=AE B．∠AEB=∠ADC C．BE=CD D．AB=AC ‎【考点】全等三角形的判定．‎ ‎【专题】推理填空题．‎ ‎【分析】根据AAS即可判断A；根据三角对应相等的两三角形不一定全等即可判断B；根据AAS即可判断C；根据ASA即可判断D．‎ 第47页（共47页）‎ ‎【解答】解：A、根据AAS（∠A=∠A，∠C=∠B，AD=AE）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误；‎ B、三角对应相等的两三角形不一定全等，错误，故本选项正确；‎ C、根据AAS（∠A=∠A，∠B=∠C，BE=CD）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误；‎ D、根据ASA（∠A=∠A，AB=AC，∠B=∠C）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了对全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定方法只有SAS，ASA，AAS，SSS，共4种，主要培养学生的辨析能力．‎ ‎　‎ ‎8．长为‎3cm，‎4cm，‎6cm，‎8cm的木条各两根，小明与小刚分别取了‎3cm和‎4cm的两根，要使两人所拿的三根木条组成的两个三角形全等，则他俩取的第三根木条应为（　　）‎ A．一个人取‎6cm的木条，一个人取‎8cm的木条 B．两人都取‎6cm的木条 C．两人都取‎8cm的木条 D．C两种取法都可以 ‎【考点】全等三角形的应用；三角形三边关系．‎ ‎【分析】若两个三角形全等，那么它们的三边对应相等，因此第三边应该取同样长度的木条，且要符合三角形三边关系定理，可运用排除法进行求解．‎ ‎【解答】解：若两人所拿的三角形全等，那么两人所拿的第三根木条长度相同，故排除A；‎ 若取‎8cm的木条，那么3+4＜8，不能构成三角形，所以只能取‎6cm的木条，故排除C、D；‎ 故选B．‎ ‎【点评】此题主要考查了全等三角形的判定以及三角形三边关系的运用，难度不大．‎ ‎　‎ ‎9．下列条件中，不能判定△ABC≌△A1B‎1C1的是（　　）‎ A．AB=A1B1，∠A=∠A1，AC=A‎1C1 B．AB=A1B1，BC=B‎1C1，AC=A‎1C1‎ C．AB=A1B1，∠B=∠B1，∠C=∠C1 D．AC=A‎1C1，AB=A1B1，∠B=∠B1‎ ‎【考点】全等三角形的判定．‎ ‎【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．‎ 第47页（共47页）‎ ‎【解答】解：A、符合全等三角形的判定定理：SAS定理，即能判定△ABC≌△A1B‎1C1，故本选项错误；‎ B、符合全等三角形的判定定理：SSS定理，即能判定△ABC≌△A1B‎1C1，故本选项错误；‎ C、符合全等三角形的判定定理：AAS定理，即能判定△ABC≌△A1B‎1C1，故本选项错误；‎ D、不符合全等三角形的判定定理，即不能判定△ABC≌△A1B‎1C1，故本选项正确；‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，主要考查学生对定理的理解能力和辨析能力，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，难度适中．‎ ‎　‎ ‎10．如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（　　）‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ‎【考点】全等三角形的判定．‎ ‎【分析】∠1=∠2，∠BAC=∠EAD，AC=AD，根据三角形全等的判定方法，可加一角或已知角的另一边．‎ ‎【解答】解：已知∠1=∠2，AC=AD，由∠1=∠2可知∠BAC=∠EAD，‎ 加①AB=AE，就可以用SAS判定△ABC≌△AED；‎ 加③∠C=∠D，就可以用ASA判定△ABC≌△AED；‎ 加④∠B=∠E，就可以用AAS判定△ABC≌△AED；‎ 加②BC=ED只是具备SSA，不能判定三角形全等．‎ 其中能使△ABC≌△AED的条件有：①③④‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．做题时要根据已知条件在图形上的位置，结合判定方法，进行添加．‎ ‎　‎ ‎11．根据下列已知条件，能画出唯一△ABC的是（　　）‎ A．AB=3，BC=4，AC=7 B．AB=4，BC=3，∠C=30°‎ 第47页（共47页）‎ C．∠A=30°，AB=3，∠B=45° D．∠C=90°，AB=4‎ ‎【考点】全等三角形的判定．‎ ‎【分析】利用全等三角形的判定方法以及三角形三边关系分别判断得出即可．‎ ‎【解答】解：A、3+4=7，不符合三角形三边关系定理，即不能画出三角形，故本选项错误；‎ B、根据AB=4，BC=3，∠A=30°不能画出唯一三角形，故本选项错误；‎ C、∠A=30°，AB=3，∠B=45°，能画出唯一△ABC，故此选项正确；‎ D、∠C=90°，AB=4，不能画出唯一三角形，故本选项错误；‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题主要考查了全等三角形的判定以及三角形三边关系，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键．‎ ‎　‎ ‎12．如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=60°，∠C=25°，则∠BMD的度数为（　　）‎ A．50° B．65° C．70° D．85°‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质．‎ ‎【分析】首先根据三角形外角的性质可得∠BDC=25°+60°=85°，然后再证明△AEB≌△ADC，根据全等三角形的性质可得∠B=∠C=25°，再利用三角形内角和定理计算出∠BMD的度数．‎ ‎【解答】证明：∵∠BAC=60°，∠C=25°，‎ ‎∴∠BDC=25°+60°=85°，‎ 在△AEB和△ADC中，‎ ‎，‎ ‎∴△AEB≌△ADC（SAS），‎ ‎∴∠B=∠C=25°，‎ ‎∴∠DNB=180°﹣25°﹣85°=70°，‎ 故选：C．‎ 第47页（共47页）‎ ‎【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及三角形外角的性质，关键是正确证明△AEB≌△ADC．‎ ‎　‎ ‎13．在△ABC中，O为∠CAB和∠CBA的角平分线的交点，若∠AOB=120°，则∠C的度数为（　　）‎ A．120° B．60° C．50° D．30‎ ‎【考点】三角形内角和定理．‎ ‎【分析】根据三角形的内角和求得∠OAB+∠OBA，利用角平分线的定义求得∠CAB+∠CBA，利用三角形的内角和定理列式计算求得答案即可．‎ ‎【解答】解：∵∠CAB与∠CBA的平分线相交于O点，‎ ‎∴∠OAB+∠OBA=（∠ABC+∠BAC）=180°﹣120°=60°，‎ ‎∴∠ABC+∠BAC=120°，‎ ‎∴∠C=180°﹣（∠ABC+∠BAC）=60°．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边的F处，若∠BAF=60°，则∠DAE等于（　　）‎ A．15° B．30° C．45° D．60°‎ ‎【考点】矩形的性质．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】本题主要考查矩形的性质以及折叠，求解即可．‎ ‎【解答】解：因为∠EAF是△DAE沿AE折叠而得，所以∠EAF=∠DAE．‎ 又因为在矩形中∠DAB=90°，即∠EAF+∠DAE+∠BAF=90°，‎ 第47页（共47页）‎ 又∠BAF=60°，所以∠AED==15°．‎ 故选A．‎ ‎【点评】图形的折叠实际上相当于把折叠部分沿着折痕所在直线作轴对称，所以折叠前后的两个图形是全等三角形，复合的部分就是对应量．‎ ‎　‎ ‎15．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，则∠ABC的大小是（　　）‎ A．40° B．45° C．50° D．60°‎ ‎【考点】直角三角形全等的判定；全等三角形的性质；等腰直角三角形．‎ ‎【分析】先利用AAS判定△BDF≌△ADC，从而得出BD=DA，即△ABD为等腰直角三角形．所以得出∠ABC=45°．‎ ‎【解答】解：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，‎ ‎∴∠BEA=∠ADC=90°．‎ ‎∵∠FBD+∠BFD=90°，∠AFE+∠FAE=90°，∠BFD=∠AFE，‎ ‎∴∠FBD=∠FAE，‎ 在△BDF和△ADC中，，‎ ‎∴△BDF≌△ADC（AAS），‎ ‎∴BD=AD，‎ ‎∴∠ABC=∠BAD=45°，‎ 故选：B．‎ 第47页（共47页）‎ ‎【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL．‎ 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．‎ ‎　‎ ‎16．下列说法中：①角平分线的点到角的两边的距离相等；②一条射线上的点到角的两边的距离相等，则这条射线是角的平分线；③有一直角边和一锐角相等两个直角三角形全等；④有两边和一角对应相等的两个三角形全等；⑤对应角相等的两个三角形是全等的；⑥面积相等两个三角形全等．其中不正确的说法有（　　）‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ‎【考点】全等三角形的判定；角平分线的性质．‎ ‎【分析】根据角的平分线性质和判定即可判断①②；全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，根据判定定理判断③④⑤⑥即可．‎ ‎【解答】解：∵角平分线的点到角的两边的距离相等，∴①正确；‎ ‎∵在角的内部到角的两边的距离相等，则这条射线是角的平分线，∴②错误；‎ 如图：‎ 在Rt△ACB和Rt△DEF中，∠C=∠E=90°，∠A=∠D，AC=EF，‎ 则△ACB和△DEF就不全等，∴③错误；‎ ‎∵当符合SAS时两三角形全等，当符合SSA时，两三角形不全等，∴④错误；‎ 如图：‎ DE∥BC，‎ ‎∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，符合两三角形的对应角相等，但是两三角形不全等，∴⑤错误；‎ 第47页（共47页）‎ ‎∵当一个三角形的底为2，高为1，而另一个三角形的底为1，高为2，两三角形的面积相等，但这两个三角形不全等，∴⑥错误；‎ 即不正确的有5个，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了角的平分线性质，全等三角形的判定定理的应用，能理解定理和正确运用定理进行判断是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等，全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS，HL，难度适中，但是比较容易出错．‎ ‎　‎ ‎17．尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP．由作法得△OCP≌△ODP的根据是（　　）‎ A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS ‎【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定．‎ ‎【分析】认真阅读作法，从角平分线的作法得出△OCP与△ODP的两边分别相等，加上公共边相等，于是两个三角形符合SSS判定方法要求的条件，答案可得．‎ ‎【解答】解：∵以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，即OC=OD；‎ 以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，即CP=DP；‎ 在△OCP和△ODP中，‎ ‎，‎ ‎∴△OCP≌△ODP（SSS）．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角 第47页（共47页）‎ ‎　‎ ‎18．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（　　）‎ A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去 ‎【考点】全等三角形的应用．‎ ‎【专题】应用题．‎ ‎【分析】此题可以采用全等三角形的判定方法以及排除法进行分析，从而确定最后的答案．‎ ‎【解答】解：A、带①去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形，故A选项错误；‎ B、带②去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形，故B选项错误；‎ C、带③去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，符合ASA判定，故C选项正确；‎ D、带①和②去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角形，故D选项错误．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．‎ ‎　‎ ‎19．在△ABC中，∠B=90°，CD平分∠ACB，DE⊥AC于点E，若AB=‎4cm，则AD+DE的值为（　　）‎ A．‎3cm B．‎4cm C．‎5cm D．‎‎6cm ‎【考点】角平分线的性质．‎ ‎【分析】先根据角平分线的性质得出BD=DE，进而可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵在△ABC中，∠B=90°，CD平分∠ACB，DE⊥AC于点E，‎ ‎∴DE=BD．‎ ‎∵AB=‎4cm，‎ 第47页（共47页）‎ ‎∴AD+DE=AD+BD=AB=‎4cm．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎20．如图是5×5的正方形网格中，以D、E为顶点作位置不同的格点的三角形与△ABC全等，这样格点三角形最多可以画出（　　）‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ‎【考点】全等三角形的判定．‎ ‎【专题】网格型．‎ ‎【分析】根据三边对应相等的两个三角形全等画图即可．‎ ‎【解答】解：如图所示：‎ ‎，‎ 最多可以画出4个．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握三条边分别对应相等的两个三角形全等．‎ ‎　‎ 二、填空题：‎ ‎21．将△ABC沿BC方向平移‎3cm得到△DEF，则CF=　‎3cm　；若∠A=80°，∠B=60°，则∠F=　40°　．‎ 第47页（共47页）‎ ‎【考点】平移的性质．‎ ‎【分析】根据平移的性质，结合图形可直接求解．‎ ‎【解答】解：观察图形可知，对应点连接的线段是AD、BE和CF．‎ ‎∵△ABC沿BC方向平移‎3cm得到△DEF，‎ ‎∴BE=CF=‎3cm，‎ ‎∴∠F=∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=40°，‎ 故答案为：‎3cm，40°．‎ ‎【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．‎ ‎　‎ ‎22．如果两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形　全等　，它也能充分告诉我们：三角形具有　稳定性　．‎ ‎【考点】全等三角形的判定．‎ ‎【分析】根据判定方法判断解答，三角形全等说明三边一定时不会有其它形状出现，也就有稳定性．‎ ‎【解答】解：运用三角形全等的判定方法SSS可知，如果两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等，由此反映了三角形具有稳定性．‎ ‎【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．‎ 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．‎ ‎　‎ ‎23．如图EB交AC于M，交FC于D，AB交FC于N，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF．给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论有　①②③　（填序号）．‎ 第47页（共47页）‎ ‎【考点】全等三角形的判定．‎ ‎【专题】压轴题．‎ ‎【分析】由已知条件，可直接得到三角形全等，得到结论，采用排除法，对各个选项进行验证从而确定正确的结论．‎ ‎【解答】解：∵∠B+∠BAE=90°，∠C+∠CAF=90°，∠B=∠C ‎∴∠1=∠2（①正确）‎ ‎∵∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF ‎∴△ABE≌△ACF（ASA）‎ ‎∴AB=AC，BE=CF（②正确）‎ ‎∵∠CAN=∠BAM，∠B=∠C，AB=AC ‎∴△ACN≌△ABM（③正确）‎ ‎∴CN=BM（④不正确）．‎ 所以正确结论有①②③．‎ 故填①②③．‎ ‎【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA．得到三角形全等是正确解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎24．如图所示，△BDC′是将长方形纸牌ABCD沿着BD折叠得到的，图中（包括实线、虚线在内）共有全等三角形　4　对．‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题）；直角三角形全等的判定．‎ ‎【分析】共有四对，分别是△ABD≌△CDB，△ABD≌△C′DB，△DCB≌△C′DB，△AOB≌△C′OD．‎ ‎【解答】∵四边形ABCD是长方形，‎ ‎∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AD=BC，‎ ‎∴△ABD≌△CDB．（HL）‎ ‎∵△BDC是将长方形纸牌ABCD沿着BD折叠得到的，‎ ‎∴BC′=AD，BD=BD，∠C′=∠A．‎ 第47页（共47页）‎ ‎∴△ABD≌△C′DB．（HL）‎ 同理△DCB≌△C′DB．‎ ‎∵∠A=∠C′，∠AOB=∠C′OD，AB=C′D，‎ ‎∴△AOB≌△C′OD．（AAS）‎ 所以共有四对全等三角形．‎ ‎【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．‎ 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．‎ ‎　‎ ‎25．已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出　7　个．‎ ‎【考点】全等三角形的判定．‎ ‎【专题】压轴题．‎ ‎【分析】只要满足三边对应相等就能保证作出的三角形与原三角形全等，以腰为公共边时有6个，以底为公共边时有一个，答案可得．‎ ‎【解答】解：以AB为公共边有三个，以CB为公共边有三个，以AC为公共边有一个，‎ 所以一共能作出7个．‎ 故答案为：7．‎ ‎【点评】本题考查了全等三角形的作法；做三角形时要根据全等的判断方法的要求，正确对每种情况进行讨论是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎26．如图，AB⊥AC，且AB=AC，BN⊥AN，CM⊥AN，若BN=3，CM=5，则MN=　2　．‎ 第47页（共47页）‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质．‎ ‎【分析】如图，证明∠B=∠MAC；证明△ABN≌△CAM，得到AM=BN=3，AN=CM=5，即可解决问题．‎ ‎【解答】解：∵BN⊥AN，AB⊥AC，‎ ‎∴∠B+∠BAN=∠BAN+∠CAM，‎ ‎∴∠B=∠MAC；‎ 在△ABN与△CAM中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABN≌△CAM（AAS），‎ ‎∴AM=BN=3，AN=CM=5，‎ ‎∴MN=5﹣3=2．‎ 故答案为2．‎ ‎【点评】该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是牢固掌握全等三角形的判定及其性质，并能灵活来解题．‎ ‎　‎ ‎27．如图，AB∥CD，O为∠BAC、∠DCA的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于　4　．‎ 第47页（共47页）‎ ‎【考点】角平分线的性质；平行线之间的距离．‎ ‎【分析】过点O作OF⊥AB于F，作OG⊥CD于G，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OE=OF=OG，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BAC+∠ACD=180°，然后求出∠EOF+∠EOG=180°，从而判断出E、O、G三点共线，然后求解即可．‎ ‎【解答】解：过点O作OF⊥AB于F，作OG⊥CD于G，‎ ‎∵O为∠BAC、∠DCA的平分线的交点，OE⊥AC，‎ ‎∴OE=OF，OE=OG，‎ ‎∴OE=OF=OG=2，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠BAC+∠ACD=180°，‎ ‎∴∠EOF+∠EOG=（180°﹣∠BAC）+（180°﹣∠ACD）=180°，‎ ‎∴E、O、G三点共线，‎ ‎∴AB与CD之间的距离=OF+OG=2+2=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，平行线的性质，熟记性质是解题的关键，难点在于作出辅助线并证明E、O、G三点共线．‎ ‎　‎ ‎28．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，AB=10，BD是∠ABC平分线，DE⊥AB，垂足为E，则△ADE的周长为　8　．‎ ‎【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．‎ ‎【分析】先根据角平分线的性质得出CD=DE，故可得出AD+CD=AD+DE=AC，再根据全等三角形的判定定理得出△BCD≌△BED，故BE=BC，由此可得出AE的长，由△ADE的周长=AE+AD+DE=AE+AC即可得出结论．‎ 第47页（共47页）‎ ‎【解答】解：∵BD是∠ABC平分线，DE⊥AB，AC=6，‎ ‎∴DE=CD，‎ ‎∴AD+CD=AD+DE=AC=6，‎ 在Rt△BCD与RtBED中，‎ ‎，‎ ‎∴△BCD≌△BED（HL），‎ ‎∴BE=BC=8，‎ ‎∴AE=10﹣8=2，‎ ‎∴△ADE的周长=AE+AD+DE=AE+AC=2+6=8．‎ 故答案为：8．‎ ‎【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎29．如下面三个图均有AB=AC，BD=CE，图②在图①的基础上连结了AO，图③在图②的基础上连结了BC，则图①、图②、图③的全等三角形的对数分别为　2　 对，　4　 对，　7　 对．‎ ‎【考点】全等三角形的判定．‎ ‎【分析】对于图①，先根据“SAS”判断△ABE≌△ACD，则∠E=∠D，则根据“AAS”判断△COE≌△BOD；对于图②，除前面的全等三角形外，再找出△ABO≌△ACO，△ADO≌△AEO；对于图③，除前面的全等三角形外，还可找出△ABF≌△ACF，△BOF≌△COF，△BDC≌△CEB．‎ ‎【解答】解：图①中，∵AB=AC，BD=CE，‎ ‎∴AD=CE，‎ 而∠BAE=∠CAD，‎ ‎∴△ABE≌△ACD（SAS）；‎ ‎∴∠E=∠D，‎ 而∠COE=∠BOD，CE=BD，‎ 第47页（共47页）‎ ‎∴△COE≌△BOD；‎ 图②，除△ABE≌△ACD，△COE≌△BOD外，还有△ABO≌△ACO，△ADO≌△AEO；‎ 图③，除△ABE≌△ACD，△COE≌△BOD，△ABO≌△ACO，△ADO≌△AEO，还有△ABF≌△ACF，△BOF≌△COF，△BDC≌△CEB．‎ 故答案为2，4，7．‎ ‎【点评】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．‎ ‎　‎ ‎30．△ABC中，AB=10，BC=16，D为AC的中点，则中线BD的取值范围为　3＜BD＜13　．‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质；三角形三边关系．‎ ‎【分析】延长BD到点E，使BD=DE，连接AE，可证明△ADE≌△CDB，可得AE=BC=16，在△ABE中利用三角形三边关系可求得BE的范围，可求得BD的取值范围．‎ ‎【解答】解：‎ 如图，延长BD到点E，使BD=DE，连接AE，‎ 在△ADE和△CDB中 ‎∴△ADE≌△CDB（SAS），‎ ‎∴AE=BC=16，且AB=10，‎ 在△ABE中，由三角形三边关系可得AE﹣AB＜BE＜AE+AB，‎ 即16﹣10＜BE＜16+10，‎ ‎∴6＜BE＜26，‎ ‎∴6＜2BD＜26，‎ ‎∴3＜BD＜13，‎ 故答案为：3＜BD＜13．‎ 第47页（共47页）‎ ‎【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质及三角形的三边关系，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（对应边、对应角相等）是解题的关键．‎ ‎　‎ 三、作图解答题：‎ ‎31．已知△ABC．‎ ‎（1）请用尺规作图的方法在△ABC内求作一点O，使点O到三边的距离相等．（不写作法，但要保留作图痕迹）‎ ‎（2）若△ABC的周长为60，面积为150，试求点O到三边AB、BC、AC的距离分别是多少？‎ ‎【考点】作图—复杂作图；角平分线的性质．‎ ‎【分析】（1）作出∠ABC和∠ACB的平分线，两线的交点处就是O点位置．‎ ‎（2）根据三角形的面积=×周长×内切圆的半径即可求出结果．‎ ‎【解答】解：（1）如图1所示：P点即为所求．‎ ‎（2）设点O到三边AB、BC、AC的距离为r，‎ 根据题意得：×60r=150，‎ 解得：r=5．‎ 故点O到三边AB、BC、AC的距离都为5．‎ ‎【点评】此题主要考查了复杂作图，三角形面积的求法，关键是掌握角平分线的性质．‎ 第47页（共47页）‎ ‎　‎ ‎32．在平面直角坐标系xOy中，△ABC的一直角顶点C恰好在坐标原点上，CA、CB分别落在坐标轴（见图示），AC=4，BC=3，AB=5；第一次以点B为定点翻转，边BA落在x轴上；第二次以点A为定点翻转，边AC落在x轴上；第三次以点C为定点翻转，边CB落在x轴上；…如此循环．‎ ‎（1）请在第2014次翻转处画出△ABC的形态示意图．‎ ‎（2）翻转后的图形和原三角形是否是全等三角形？为什么？‎ ‎（3）试求第10次翻转后△ABC三个顶点的坐标．（△ABC的三边长按照1：1的单位长度）‎ ‎【考点】全等三角形的应用．‎ ‎【分析】（1）观察不难发现，每3次翻转为一个循环组，用2014除以3，根据商和余数的情况确定第2014次翻转后△ABC的形状，然后作出图形即可；‎ ‎（2）根据翻转变换的性质解答；‎ ‎（3）先求出第10次翻转后△ABC的位置，然后分别求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）由题意得，每3次翻转为一个循环组，‎ ‎∵2014÷3=671余1，‎ ‎∴第2014次翻转后△ABC的形态与第1次翻转形态相同，‎ 如图所示；‎ ‎（2）翻转后的图形和原三角形是全等三角形，‎ 因为翻折变换只改变图形的位置不改变图形的形状；‎ ‎（3）∵10÷3=3余1，‎ ‎∴第10次翻转为第4循环组的第一次翻转，‎ ‎∵一个循环组前进的距离=3+4+5=12，‎ ‎∴点A的横坐标为3+12×3+5=44，‎ 点B的横坐标为3+12×3=39，‎ 第47页（共47页）‎ ‎∴点A（44，0），B（39，0），‎ 过点C作CD⊥AB于D，‎ 则AB•CD=AC•BC，‎ ‎∴×5•CD=×4×3，‎ 解得CD=，‎ BD==，‎ ‎∴点C的横坐标为39+=40，‎ ‎∴点C的坐标为（40，）．‎ ‎【点评】本题考查了全等三角形的应用，翻折变换的性质，勾股定理，三角形的面积，读懂题目信息，理解每3次翻转为一个循环组是解题的关键．‎ ‎　‎ 四、解答题 ‎33．如图，已知AB∥CD，AE∥CF，BF=DE 求证：AB=CD．‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质．‎ ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】由平行可得∠B=∠D，∠AEF=∠CFE，可求得∠AEB=∠CFD，又结合条件可得BE=DF，可证明△ABE≌△CDF，可得AB=CD．‎ ‎【解答】证明：‎ 第47页（共47页）‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠B=∠D，‎ ‎∵AE∥CF，‎ ‎∴∠AEF=∠CFE，‎ ‎∴∠AEB=∠CFD，‎ ‎∵BF=DE，‎ ‎∴BF﹣EF=DE﹣EF，即BE=DF，‎ 在△ABE和△CDF中 ‎∴△ABE≌△CDF（ASA），‎ ‎∴AB=CD．‎ ‎【点评】本题主要考查全等三角的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．‎ ‎　‎ ‎34．如图，已知AB=AD，AC=AE，∠1=∠2‎ 求证：∠B=∠D．‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质．‎ ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】根据等式的性质，可得∠BAC与∠CAE的关系，根据SAS，可得三角形全等，再根据全等三角形的性质，可得答案．‎ ‎【解答】证明：∵∠1=∠2，‎ ‎∴∠BAC=∠DAE，‎ 在△BAC和△DAE中，，‎ 第47页（共47页）‎ ‎∴△BAC≌△DAE （SAS），‎ ‎∴∠B=∠D．‎ ‎【点评】本题考查了全等三角的判定与性质，先利用了等式的性质，有利用了SAS证明三角形全等，最后利用了全等三角型的性质．‎ ‎　‎ ‎35．如图所示，在△ABC中，AB=AC，M为BC的中点，MD⊥AB于点D，ME⊥AC于点E．‎ 求证：MD=ME．‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质．‎ ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】根据等腰三角形的性质，可得∠B与∠C的关系，再根据线段中点的性质，可得BM与CM的关系，根据AAS，可得三角形全等，最后根据全等三角形的性质，可得答案．‎ ‎【解答】证明：∵在△ABC中，AB=AC，‎ ‎∴∠B=∠C．‎ ‎∵M为BC的中点，‎ ‎∴BM=CM．‎ ‎∵MD⊥AB于点D，MD⊥AC于点E，‎ ‎∴∠BDM=∠CEM．‎ 在△BDM和△CEM中，‎ ‎，‎ ‎∴△BDM≌△CEM（AAS），‎ ‎∴MD=ME．‎ ‎【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等腰三角形的性质，线段中点的性质，全等三角形的判定与性质．‎ ‎　‎ ‎36．如图所示，E为AB延长线上的一点，AC⊥BC，AD⊥BD，AC=AD 第47页（共47页）‎ 求证：∠CEA=∠DEA．‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质．‎ ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】首先利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，得出∠CAB=∠DAB，进一步利用“SAS”证得△ACE≌△ADE，证得∠CEA=∠DEA．‎ ‎【解答】证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，‎ ‎∴∠ACB=∠ADB=90°，‎ 在Rt△ABC和Rt△ABD中，‎ ‎∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），‎ ‎∴∠CAB=∠DAB，‎ 在△ACE和△ADE中，‎ ‎∴△ACE≌△ADE，‎ ‎∴∠CEA=∠DEA．‎ ‎【点评】此题考查三角形全等的判定与性质，结合图形，掌握基本的判定方法是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎37．（2013秋•宝坻区校级期中）如图，∠ABC=90°，AB=BC，D为AC上一点，分别过C、A作BD的垂线，垂足分别为E、F．求证：EF=CE﹣AF．‎ 第47页（共47页）‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质．‎ ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】如图，由垂直的定义得到∠AFB=∠BEC；通过“等角的余角相等”证得∠BAF=∠CBE；然后结合已知条件AB=BC，利用AAS证得△AEB≌△BFC，所以AE=BF，CF=BE．结合图形易证得结论．‎ ‎【解答】证明：如图，∠ABC=90°，AF⊥BF，CF⊥BF，‎ ‎∴∠BAF=∠CBE．‎ 在△ABF与△BCE中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABF≌△BCE（AAS），‎ ‎∴AF=BE，BF=CE，‎ ‎∵BE+EF=BF，‎ ‎∴EF=CE﹣AF．‎ ‎【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．‎ ‎　‎ 五、解答题：‎ ‎38．（2013秋•岱岳区期末）如图：将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点F处，已知∠1+∠2=100°，则∠A=　50　度．‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题）．‎ 第47页（共47页）‎ ‎【分析】根据折叠的性质可知∠ADE=∠EDF，∠AED=∠DEF，利用平角是180°，求出∠ADE与∠AED的和，然后利用三角形内角和定理求出∠A的度数．‎ ‎【解答】解：∵将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点F处，‎ ‎∴∠ADE=∠EDF，∠AED=∠DEF，‎ ‎∴∠1+2∠ADE+∠2+2∠AED=180°+180°，‎ ‎∴∠1+∠2+2（∠ADE+∠AED）=360°，‎ 又∵∠1+∠2=100°，‎ ‎∴∠ADE+∠AED=130°，‎ ‎∴∠A=180°﹣（∠ADE+∠AED）=50°．‎ 故答案是：50‎ ‎【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题）．解题时注意挖掘出隐含于题中的已知条件：三角形内角和是180°、平角的度数也是180°．‎ ‎　‎ ‎39．如图，OP平分∠AOB，∠AOB=40°，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PC∥OB，交边OA于点C，E为边OB上的一点，且满足PC=PE．求∠EPN的度数？‎ ‎【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．‎ ‎【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PM=PN，然后利用“HL”证明Rt△PMC和Rt△PNE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EPN=∠CPM，根据两直线平行，同位角相等可得∠PCM=∠AOB，再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．‎ ‎【解答】解：∵OP平分∠AOB，PM⊥OA，PN⊥OB，‎ ‎∴PM=PN，‎ 在Rt△PMC和Rt△PNE中，‎ 第47页（共47页）‎ ‎，‎ ‎∴Rt△PMC≌Rt△PNE（HL），‎ ‎∴∠EPN=∠CPM，‎ ‎∵PC∥OB，‎ ‎∴∠PCM=∠AOB=40°，‎ ‎∵PM⊥AO，‎ ‎∴∠CPM=90°﹣40°=50°，‎ ‎∴∠EPN=50°．‎ ‎【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟记性质并确定出全等三角形是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎40．如图，BD平分∠ADC，∠A=∠B=90°，OA=OB．求证：CA平分∠DCB．‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质．‎ ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】由BD为角平分线得到一对角相等，再由已知直角相等得到三角形AOD与三角形BDC相似，由相似三角形对应角相等得到一对角相等，再由对顶角相等，等量代换得到一对角相等，进而确定出三角形BCO与三角形BCD相似，利用相似三角形对应角相等得到∠BCO=∠BDC=∠ADO，再由对顶角相等，AO=BO，利用AAS得到三角形AOD与三角形BOC全等，利用全等三角形对应边相等得到OD=OC，利用等边对等角及等量代换即可得证．‎ ‎【解答】证明：∵∠A=∠B=90°，BD平分∠ADC，即∠ADO=∠BDC，‎ ‎∴△ADO∽△BDC，‎ ‎∴∠AOD=∠BCD，‎ ‎∵∠AOD=∠BOC，‎ ‎∴∠BCD=∠BOC，‎ ‎∵∠B=∠B，‎ ‎∴△BCD∽△BOC，‎ 第47页（共47页）‎ ‎∴∠BCO=∠BDC=∠ADO，‎ 在△ADO和△BCO中，‎ ‎，‎ ‎∴△AOD≌△BCO（AAS），‎ ‎∴OD=OC，‎ ‎∴∠OCD=∠BDC，‎ ‎∴∠OCD=∠BCO，‎ 则CA平分∠DCB．‎ ‎【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎41．在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为CD的中点．求证：S△AEB=SABCD．‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质．‎ ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】延长AE交BC十位延长线于点F，证得△ADE≌△CEF，得出AE=EF，AD=CF，进一步利用△ABF的面积=四边形ABCD的面积，△ABE的面积是△ABF的面积的一半进一步求得结论即可．‎ ‎【解答】解：如图，‎ ‎∵AD∥BF，‎ ‎∴∠D=∠ECF，∠DAE=∠F，‎ ‎∵点E为CD的中点，‎ ‎∴DE=CE，‎ 在△ADE≌△CEF中，‎ 第47页（共47页）‎ ‎∴△ADE≌△CEF，‎ ‎∴AE=EF，AD=CF，‎ 设四边形ABCD的高为h，‎ ‎∴S△ABF=（BC+CF）h=（BC+AD）h=S四边形ABCD，‎ ‎∴S△AEB=S△ABF=S四边形ABCD．‎ ‎【点评】此题考查三角形全等的判定与性质，三角形的面积，作出辅助线，灵活运用三角形全等的判定方法解决问题．‎ ‎　‎ ‎42．如图，在四边形ABCD中，∠1=∠2，∠3=∠4，∠B=∠D，AF=CE，AB∥CD．‎ 求证：AB=CD．‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质．‎ ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】由AB∥CD，得出∠BAD+∠D=∠B+∠BCD，再由∠B=∠D，得出∠BAD=∠BCD，进一步由∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠1=∠4，利用AAS证得△ABF≌△CDE，结论成立．‎ ‎【解答】证明：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠BAD+∠D=∠B+∠BCD，‎ ‎∵∠B=∠D，‎ ‎∴∠BAD=∠BCD，‎ ‎∵∠1=∠2，∠3=∠4，‎ ‎∴∠1=∠4，‎ 在△ABF和△CDE中，‎ ‎∴△ABF≌△CDE（AAS），‎ 第47页（共47页）‎ ‎∴AB=CD．‎ ‎【点评】此题考查三角形全等的判定与性质，平行线的性质，掌握基本的判定方法是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎43．如图，已知AB⊥AD，AC⊥AE，AB=AD，AC=AE，BC分别交AD、DE于点G、F，AC与DE交于点H．‎ 求证：（1）△ABC≌△ADE；（2）BC⊥DE．‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质．‎ ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】（1）利用AB⊥AD，AC⊥AE，得出∠DAB=∠CAE，进一步得出∠BAC=∠DAE，再根据已知条件及全等的判定方法SAS即可证得△ABC≌△ADE；‎ ‎（2）由△ABC≌△ADE，得出∠E=∠C，利用∠E+∠AHE=90°，推出∠C+∠DHC=90°，结论成立．‎ ‎【解答】证明：（1）∵AB⊥AD，AC⊥AE，‎ ‎∴∠DAB=∠CAE=90°，‎ ‎∴∠DAB+∠DAC=∠CAE+∠DAC，‎ 即∠BAC=∠DAE，‎ 在△ABC和△ADE中，‎ ‎∴△ABC≌△ADE（SAS）．‎ ‎（2）∵△ABC≌△ADE，‎ ‎∴∠E=∠C，‎ ‎∵∠E+∠AHE=90°，∠AHE=∠DHC，‎ ‎∴∠C+∠DHC=90°，‎ ‎∴BC⊥DE．‎ 第47页（共47页）‎ ‎【点评】本题考查了全等三角形全等的判定及性质，垂直的意义，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．‎ ‎　‎ 六、探究、开放题：‎ ‎44．如图，已知AF∥BE，且AF=BE，AC=BD．请指出图中有哪些全等三角形，并任选一对给予证明．‎ ‎【考点】全等三角形的判定．‎ ‎【分析】根据AF∥BE可得∠A=∠B，再加上条件AF=BE，AC=BD可利用SAS定理判定△ACF≌△BDE，进而可证明△ADF≌△BCE，△ECD≌△FDC．‎ ‎【解答】解：△ADF≌△BCE，△ECD≌△FDC，△EDB≌△FCA，‎ ‎∵AF∥BE，‎ ‎∴∠A=∠B，‎ 在△ACF和△BDE中，‎ ‎，‎ ‎∴△ACF≌△BDE（SAS）．‎ ‎【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．‎ 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．‎ ‎　‎ ‎45．已知命题：如图，点B、C、E、F在同一直线上，若AB=AF，∠1=∠2，则△ABE≌△AFC．‎ 请判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请添加一个条件使它成为真命题，并加以证明．‎ ‎【考点】全等三角形的判定；命题与定理．‎ 第47页（共47页）‎ ‎【专题】常规题型．‎ ‎【分析】先根据等腰三角形的性质，由AB=AF得到∠B=∠F，于是可根据“AAS”判定△ABE≌△AFC．‎ ‎【解答】解：这个命题是真命题．‎ 证明如下：‎ ‎∵AB=AF，‎ ‎∴∠B=∠F，‎ 在△ABE和△AFC中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABE≌△AFC（AAS）．‎ ‎【点评】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．‎ ‎　‎ ‎46．（2014秋•孟津县期末）如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD交BD的延长线于点E，则线段BD和CE具有什么数量关系，并证明你的结论．‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质．‎ ‎【分析】延长CE与BA延长线交于点F，首先证明△BAD≌△CAF，根据全等三角形的性质可得BD=CF，再证明△BEF≌△BCE可得CE=EF，进而可得BD=2CE．‎ ‎【解答】答：BD=2CE，‎ 延长CE与BA延长线交于点F，‎ ‎∵∠BAC=90°，CE⊥BD，‎ ‎∴∠BAC=∠DEC，‎ ‎∵∠ADB=∠CDE，‎ ‎∴∠ABD=∠DCE，‎ 第47页（共47页）‎ 在△BAD和△CAF中，‎ ‎，‎ ‎∴△BAD≌△CAF（ASA），‎ ‎∴BD=CF，‎ ‎∵BD平分∠ABC，CE⊥DB，‎ ‎∴∠FBE=∠CBE，‎ 在△BEF和△BCE中，‎ ‎，‎ ‎∴△BEF≌△BCE（AAS），‎ ‎∴CE=EF，‎ ‎∴DB=2CE．‎ ‎【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定方法，全等三角形对应边相等．‎ ‎　‎ ‎47．如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，且BD⊥l于的D，CE⊥l于的E．‎ ‎（1）求证：BD+CE=DE；‎ ‎（2）当变换到如图②所示的位置时，试探究BD、CE、DE的数量关系，请说明理由．‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质．‎ 第47页（共47页）‎ ‎【分析】（1）易证∠EAC=∠ABD，即可求证△ABD≌△CAE，根据全等三角形相等的性质即可解题；‎ ‎（2）先根据垂直的定义得到∠AEC=∠BDA=90°，再根据等角的余角相等得到∠ABD=∠CAE，则可利用“AAS”判断△ABD≌△CAE，所以AD=CE，BD=AE，于是有BD﹣CE=AE﹣AD=DE．‎ ‎【解答】证明：（1）∵∠DAB+∠EAC=90°，∠DAB+∠ABD=90°，‎ ‎∴∠EAC=∠ABD，‎ 在△ABD和△CAE中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABD≌△CAE（AAS），‎ ‎∴BD=AE，CE=AD，‎ ‎∵DE=AD+AE，‎ ‎∴DE=BD+CE；‎ ‎（2）BD﹣CE=DE，‎ 理由如下：‎ ‎∵CE⊥AN，BD⊥AN，‎ ‎∴∠AEC=∠BDA=90°，‎ ‎∴∠BAD+∠ABD=90°，‎ ‎∵∠BAC=90°，即∠BAD+∠CAE=90°，‎ ‎∴∠ABD=∠CAE，‎ 在△ABD和△CAE中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABD≌△CAE（AAS），‎ ‎∴AD=CE，BD=AE，‎ ‎∴BD﹣CE=AE﹣AD=DE．‎ ‎【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等，本题中求证△ABD≌△CAE是解题的关键．‎ ‎　‎ 第47页（共47页）‎ 第47页（共47页）‎