第12章 全等三角形
一、选择题
1．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．9cm
2．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为（ ）
A．（﹣，1） B．（﹣1，） C．（，1） D．（﹣，﹣1）
3．在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q，下列四幅图中的实线分别表示某人从A地到B地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程最长的行进路线图是（ ）
A． B．C． D．
4．如图，坐标平面上，△ABC与△DEF全等，其中A、B、C的对应顶点分别为D、E、F，且AB=BC=5．若A点的坐标为（﹣3，1），B、C两点在方程式y=﹣3的图形上，D、E两点在y轴上，则F点到y轴的距离为何？（ ）
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A．2 B．3 C．4 D．5
5．平面上有△ACD与△BCE，其中AD与BE相交于P点，如图．若AC=BC，AD=BE，CD=CE，∠ACE=55°，∠BCD=155°，则∠BPD的度数为（ ）
A．110° B．125° C．130° D．155°
6．如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC=BD，AB=ED，BC=BE，则∠ACB等于（ ）
A．∠EDB B．∠BED C．∠AFB D．2∠ABF
7．如图，AB=4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，BE=DB，作EF⊥DE并截取EF=DE，连结AF并延长交射线BM于点C．设BE=x，BC=y，则y关于x的函数解析式是（ ）
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A．y=﹣ B．y=﹣ C．y=﹣ D．y=﹣
8．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则tan∠MCN=（ ）
A． B． C． D．﹣2
9．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（ ）
A． a2 B． a2 C． a2 D． a2
二、解答题（共21小题）
10．如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=CD，∠CEF=90°．
（1）若∠ECF=30°，CF=8，求CE的长；
（2）求证：△ABF≌△DEC；
（3）求证：四边形BCEF是矩形．
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11．已知△ABC为等边三角形，D为AB边所在的直线上的动点，连接DC，以DC为边在DC两侧作等边△DCE和等边△DCF（点E在DC的右侧或上侧，点F在DC左侧或下侧），连接AE、BF
（1）如图1，若点D在AB边上，请你通过观察，测量，猜想线段AE、BF和AB有怎样的数量关系？并证明你的结论；
（2）如图2，若点D在AB的延长线上，其他条件不变，线段AE、BF和AB有怎样的数量关系？请直接写出结论（不需要证明）；
（3）若点D在AB的反向延长线上，其他条件不变，请在图3中画出图形，探究线段AE、BF和AB有怎样的数量关系，并直接写出结论（不需要证明）
12．如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC．
（1）求证：△ABE≌DCE；
（2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数？
13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：△ACD≌△AED；
（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．
14．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．
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15．已知：如图，AD，BC相交于点O，OA=OD，AB∥CD．
求证：AB=CD．
16．如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．
（1）求证：CF=DG；
（2）求出∠FHG的度数．
17．如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，求证：AC=DF．
18．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上．求证：BD=CE．
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19．如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，BE=CF，AB∥DE，∠A=∠D．求证：AB=DE．
20．已知△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点P在BC边上（P不与B、C重合）或点P在△ABC内部，连接CP、BP，将CP绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE；将BP绕点B顺时针旋转90°，得到线段BD，连接ED交AB于点O．
（1）如图a，当点P在BC边上时，求证：OA=OB；
（2）如图b，当点P在△ABC内部时，
①OA=OB是否成立？请说明理由；
②直接写出∠BPC为多少度时，AB=DE．
21．（1）如图1，在△ABC和△DCE中，AB∥DC，AB=DC，BC=CE，且点B，C，E在一条直线上．求证：∠A=∠D．
（2）如图2，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=4，∠AOD=120°，求AC的长．
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22．（1）如图，AB平分∠CAD，AC=AD，求证：BC=BD；
（2）列方程解应用题
把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本，这个班有多少学生？
23．已知：如图，D是AC上一点，AB=DA，DE∥AB，∠B=∠DAE．求证：BC=AE．
24．【问题提出】
学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
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【深入探究】
第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．
（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据______，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．
（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．
第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．
（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若______，则△ABC≌△DEF．
25．问题背景：
如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是______；
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探索延伸：
如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
实际应用：
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
26．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC与BD相交于O点，OC=OA，若E是CD上任意一点，连接BE交AC于点F，连接DF．
（1）证明：△CBF≌△CDF；
（2）若AC=2，BD=2，求四边形ABCD的周长；
（3）请你添加一个条件，使得∠EFD=∠BAD，并予以证明．
27．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E、B、D、F在同一直线上，且BE=DF．求证：AE=CF．
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28．（1）如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG．求证：EF=FG．
（2）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长．
29．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF=∠CBG．求证：
（1）AF=CG；
（2）CF=2DE．
30．如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF．
（1）如图①，当∠BAE=90°时，求证：CD=2AF；
（2）当∠BAE≠90°时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由．
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第12章 全等三角形
参考答案
一、选择题（共9小题）
1．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．9cm
【解答】解：∵F是高AD和BE的交点，
∴∠ADC=∠ADB=∠AEF=90°，
∴∠CAD+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠CAD=∠FBD，
∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAD=45°=∠ABD，
∴AD=BD，
在△DBF和△DAC中
∴△DBF≌△DAC（ASA），
∴BF=AC=8cm，
故选C．
2．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为（ ）
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A．（﹣，1） B．（﹣1，） C．（，1） D．（﹣，﹣1）
【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，
∵四边形OABC是正方形，
∴OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠COE+∠AOD=90°，
又∵∠OAD+∠AOD=90°，
∴∠OAD=∠COE，
在△AOD和△OCE中，
，
∴△AOD≌△OCE（AAS），
∴OE=AD=，CE=OD=1，
∵点C在第二象限，
∴点C的坐标为（﹣，1）．
故选：A．
3．（2014•湖州）在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q，下列四幅图中的实线分别表示某人从A地到B地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程最长的行进路线图是（ ）
第45页（共45页）
A． B．C． D．
【解答】
解：A、延长AC、BE交于S，
∵∠CAB=∠EDB=45°，
∴AS∥ED，则SC∥DE．
同理SE∥CD，
∴四边形SCDE是平行四边形，
∴SE=CD，DE=CS，
即走的路线长是：AC+CD+DE+EB=AC+CS+SE+EB=AS+BS；
B、延长AF、BH交于S1，作FK∥GH与BH的延长线交于点K，
∵∠SAB=∠S1AB=45°，∠SBA=∠S1BA=70°，AB=AB，
∴△SAB≌△S1AB，
∴AS=AS1，BS=BS1，
∵∠FGH=180°﹣70°﹣43°=67°=∠GHB，
∴FG∥KH，
∵FK∥GH，
∴四边形FGHK是平行四边形，
∴FK=GH，FG=KH，
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∴AF+FG+GH+HB=AF+FK+KH+HB，
∵FS1+S1K＞FK，
∴AS+BS＞AF+FK+KH+HB，
即AC+CD+DE+EB＞AF+FG+GH+HB，
C、D、同理可证得AI+IK+KM+MB＜AS2+BS2＜AN+NQ+QP+PB．
综上所述，D选项的所走的线路最长．
故选：D．
4．如图，坐标平面上，△ABC与△DEF全等，其中A、B、C的对应顶点分别为D、E、F，且AB=BC=5．若A点的坐标为（﹣3，1），B、C两点在方程式y=﹣3的图形上，D、E两点在y轴上，则F点到y轴的距离为何？（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：如图，作AH、CK、FP分别垂直BC、AB、DE于H、K、P．
∴∠DPF=∠AKC=∠CHA=90°．
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA．
在△AKC和△CHA中
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，
∴△AKC≌△CHA（ASA），
∴KC=HA．
∵B、C两点在方程式y=﹣3的图形上，且A点的坐标为（﹣3，1），
∴AH=4．
∴KC=4．
∵△ABC≌△DEF，
∴∠BAC=∠EDF，AC=DF．
在△AKC和△DPF中，
，
∴△AKC≌△DPF（AAS），
∴KC=PF=4．
故选：C．
5．平面上有△ACD与△BCE，其中AD与BE相交于P点，如图．若AC=BC，AD=BE，CD=CE，∠ACE=55°，∠BCD=155°，则∠BPD的度数为（ ）
A．110° B．125° C．130° D．155°
【解答】解：在△ACD和△BCE中，
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，
∴△ACD≌△BCE（SSS），
∴∠A=∠B，∠BCE=∠ACD，
∴∠BCA=∠ECD，
∵∠ACE=55°，∠BCD=155°，
∴∠BCA+∠ECD=100°，
∴∠BCA=∠ECD=50°，
∵∠ACE=55°，
∴∠ACD=105°
∴∠A+∠D=75°，
∴∠B+∠D=75°，
∵∠BCD=155°，
∴∠BPD=360°﹣75°﹣155°=130°，
故选：C．
6．如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC=BD，AB=ED，BC=BE，则∠ACB等于（ ）
A．∠EDB B．∠BED C．∠AFB D．2∠ABF
【解答】解：在△ABC和△DEB中，
，
∴△ABC≌△DEB （SSS），
∴∠ACB=∠DBE．
∵∠AFB是△BFC的外角，
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∴∠ACB+∠DBE=∠AFB，
∠ACB=∠AFB，
故选：C．
7．如图，AB=4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，BE=DB，作EF⊥DE并截取EF=DE，连结AF并延长交射线BM于点C．设BE=x，BC=y，则y关于x的函数解析式是（ ）
A．y=﹣ B．y=﹣ C．y=﹣ D．y=﹣
【解答】解：作FG⊥BC于G，
∵∠DEB+∠FEC=90°，∠DEB+∠BDE=90°；
∴∠BDE=∠FEG，
在△DBE与△EGF中
∴△DBE≌△EGF，
∴EG=DB，FG=BE=x，
∴EG=DB=2BE=2x，
∴GC=y﹣3x，
∵FG⊥BC，AB⊥BC，
∴FG∥AB，
CG：BC=FG：AB，
即=，
∴y=﹣．
故选：A．
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8．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则tan∠MCN=（ ）
A． B． C． D．﹣2
【解答】解：∵AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2，
∴AM=AN=2，BM=DN=4，
连接MN，连接AC，
∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°
在Rt△ABC与Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）
∴∠BAC=∠DAC=∠BAD=30°，MC=NC，
∴BC=AC，
∴AC2=BC2+AB2，即（2BC）2=BC2+AB2，
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3BC2=AB2，
∴BC=2，
在Rt△BMC中，CM===2．
∵AN=AM，∠MAN=60°，
∴△MAN是等边三角形，
∴MN=AM=AN=2，
过M点作ME⊥CN于E，设NE=x，则CE=2﹣x，
∴MN2﹣NE2=MC2﹣EC2，即4﹣x2=（2）2﹣（2﹣x）2，
解得：x=，
∴EC=2﹣=，
∴ME==，
∴tan∠MCN==
故选：A．
9．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（ ）
A． a2 B． a2 C． a2 D． a2
【解答】解：过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，
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∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
又∵∠EPM=∠EQN=90°，
∴∠PEQ=90°，
∴∠PEM+∠MEQ=90°，
∵三角形FEG是直角三角形，
∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°，
∴∠PEM=∠NEQ，
∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC=∠EQC=90°，
∴EP=EQ，四边形PCQE是正方形，
在△EPM和△EQN中，
，
∴△EPM≌△EQN（ASA）
∴S△EQN=S△EPM，
∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积，
∵正方形ABCD的边长为a，
∴AC=a，
∵EC=2AE，
∴EC=a，
∴EP=PC=a，
∴正方形PCQE的面积=a×a=a2，
∴四边形EMCN的面积=a2，
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故选：D．
二、解答题（共21小题）
10．如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=CD，∠CEF=90°．
（1）若∠ECF=30°，CF=8，求CE的长；
（2）求证：△ABF≌△DEC；
（3）求证：四边形BCEF是矩形．
【解答】（1）解：∵∠CEF=90°．
∴cos∠ECF=．
∵∠ECF=30°，CF=8．
∴CF=CF•cos30°=8×=4；
（2）证明：∵AB∥DE，
∴∠A=∠D，
∵在△ABF和△DEC中
∴△ABF≌△DEC （SAS）；
（3）证明：由（2）可知：△ABF≌△DEC，
∴BF=CE，∠AFB=∠DCE，
∵∠AFB+∠BFC=180°，∠DCE+∠ECF=180°，
∴∠BFC=∠ECF，
∴BF∥EC，
∴四边形BCEF是平行四边形，
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∵∠CEF=90°，
∴四边形BCEF是矩形．
11．已知△ABC为等边三角形，D为AB边所在的直线上的动点，连接DC，以DC为边在DC两侧作等边△DCE和等边△DCF（点E在DC的右侧或上侧，点F在DC左侧或下侧），连接AE、BF
（1）如图1，若点D在AB边上，请你通过观察，测量，猜想线段AE、BF和AB有怎样的数量关系？并证明你的结论；
（2）如图2，若点D在AB的延长线上，其他条件不变，线段AE、BF和AB有怎样的数量关系？请直接写出结论（不需要证明）；
（3）若点D在AB的反向延长线上，其他条件不变，请在图3中画出图形，探究线段AE、BF和AB有怎样的数量关系，并直接写出结论（不需要证明）
【解答】解：（1）AE+BF=AB，如图1，
∵△ABC和△DCF是等边三角形，
∴CA=CB，CD=CF，∠ACB=∠DCF=60°．
∴∠ACD=∠BCF，
在△ACD和△BCF中
∴△ACD≌△BCF（SAS）
∴AD=BF
同理：△CBD≌△CAE（SAS）
∴BD=AE
∴AE+BF=BD+AD=AB；
（2）BF﹣AE=AB，
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如图2，易证△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE，
∴AD=BF，BD=AE，
∴BF﹣AE=AD﹣BD=AB；
（3）AE﹣BF=AB，
如图3，易证△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE，
∴AD=BF，BD=AE，
∴BF﹣AE=AD﹣BD=AB．
12．（2013•舟山）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC．
（1）求证：△ABE≌DCE；
（2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数？
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【解答】（1）证明：∵在△ABE和△DCE中
∴△ABE≌△DCE（AAS）；
（2）解：∵△ABE≌△DCE，
∴BE=EC，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=50°，
∴∠EBC=25°．
13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：△ACD≌△AED；
（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°，
∵在Rt△ACD和Rt△AED中
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）；
（2）解：∵DC=DE=1，DE⊥AB，
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∴∠DEB=90°，
∵∠B=30°，
∴BD=2DE=2．
14．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．
【解答】证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△ABD与△ACE中，
∵，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD=AE．
15．已知：如图，AD，BC相交于点O，OA=OD，AB∥CD．
求证：AB=CD．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，∠A=∠D，
∵在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（AAS），
∴AB=CD．
第45页（共45页）
16．如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．
（1）求证：CF=DG；
（2）求出∠FHG的度数．
【解答】（1）证明：∵在△CBF和△DBG中，
，
∴△CBF≌△DBG（SAS），
∴CF=DG；
（2）解：∵△CBF≌△DBG，
∴∠BCF=∠BDG，
又∵∠CFB=∠DFH，
又∵△BCF中，∠CBF=180°﹣∠BCF﹣∠CFB，
△DHF中，∠DHF=180°﹣∠BDG﹣∠DFH，
∴∠DHF=∠CBF=60°，
∴∠FHG=180°﹣∠DHF=180°﹣60°=120°．
第45页（共45页）
17．如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，求证：AC=DF．
【解答】证明：∵FB=CE，
∴FB+FC=CE+FC，
∴BC=EF，
∵AB∥ED，AC∥FD，
∴∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，
∵在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AC=DF．
18．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上．求证：BD=CE．
【解答】证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形
∴AD=AE，AB=AC，
又∵∠EAC=90°+∠CAD，∠DAB=90°+∠CAD，
第45页（共45页）
∴∠DAB=∠EAC，
∵在△ADB和△AEC中
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴BD=CE．
19．如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，BE=CF，AB∥DE，∠A=∠D．求证：AB=DE．
【解答】证明：∵BE=CF，∴BC=EF．
∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF．
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴AB=DE．
20．已知△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点P在BC边上（P不与B、C重合）或点P在△ABC内部，连接CP、BP，将CP绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE；将BP绕点B顺时针旋转90°，得到线段BD，连接ED交AB于点O．
（1）如图a，当点P在BC边上时，求证：OA=OB；
（2）如图b，当点P在△ABC内部时，
①OA=OB是否成立？请说明理由；
②直接写出∠BPC为多少度时，AB=DE．
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【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴CA=CB，∠A=∠ABC=45°，
由旋转可知：CP=CE，BP=BD，
∴CA﹣CE=CB﹣CP，
即AE=BP，
∴AE=BD．
又∵∠CBD=90°，∴∠OBD=45°，
在△AEO和△BDO中，
，
∴△AEO≌△BDO（AAS），
∴OA=OB；
（2）成立，理由如下：
连接AE，则△AEC≌△BCP，
∴AE=BP，∠CAE=∠BPC，
∵BP=BD，
∴BD=AE，
∵∠OAE=45°+∠CAE，∠OBD=90°﹣∠OBP=90°﹣（45°﹣∠BPC）=45°+∠PBC，
∴∠OAE=∠OBD，
在△AEO和△BDO中，
，
∴△AEO≌△BDO（AAS），
第45页（共45页）
∴OA=OB，
②当∠BPC=135°时，AB=DE．理由如下：
解法一：
当AB=DE时，由①知OA=OB，∴OA=OB=OE=OD．
设∠PCB=α，由旋转可知，∠ACE=α．
连接OC，则OC=OA=OB，∴OC=OE，
∴∠DEC=∠OCE=45°+α．
设∠PBC=β，则∠ABP=45°﹣β，∠OBD=90°﹣∠ABP=45°+β．
∵OB=OD，∴∠D=∠OBD=45°+β．
在四边形BCED中，∠DEC+∠D+∠DBC+∠BCE=360°，
即：（45°+α）+（45°+β）+（90°+β）+（90°+α）=360°，
解得：α+β=45°，
∴∠BPC=180°﹣（α+β）=135°．
解法二（本溪赵老师提供，更为简洁）：
当AB=DE时，四边形AEBD为矩形
则∠DBE=90°=∠DBP，
∴点P落在线段BE上．
∵△ECP为等腰直角三角形，
∴∠EPC=45°，
∴∠BPC=180°﹣∠EPC=135°．
21．（1）如图1，在△ABC和△DCE中，AB∥DC，AB=DC，BC=CE，且点B，C，E在一条直线上．求证：∠A=∠D．
（2）如图2，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=4，∠AOD=120°，求AC的长．
第45页（共45页）
【解答】（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠B=∠DCE，
在△ABC和△DCE中，
∴△ABC≌△DCE（SAS），
∴∠A=∠D；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO=CO=DO，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AO=AB=4，
∴AC=2AO=8．
22．（1）如图，AB平分∠CAD，AC=AD，求证：BC=BD；
（2）列方程解应用题
把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本，这个班有多少学生？
【解答】（1）证明：∵AB平分∠CAD，
∴∠CAB=∠DAB，
在△ABC和△ABD中
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∴△ABC≌△ABD（SAS），
∴BC=BD．
（2）解：设这个班有x名学生，根据题意得：3x+20=4x﹣25，
解得：x=45，
答：这个班有45名学生．
23．已知：如图，D是AC上一点，AB=DA，DE∥AB，∠B=∠DAE．求证：BC=AE．
【解答】证明：∵DE∥AB，
∴∠CAB=∠ADE，
∵在△ABC和△DAE中，
，
∴△ABC≌△DAE（ASA），
∴BC=AE．
24．【问题提出】
学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
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【深入探究】
第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．
（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据 HL ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．
（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．
第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．
（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若 ∠B≥∠A ，则△ABC≌△DEF．
【解答】（1）解：HL；
（2）证明：如图，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，
∵∠ABC=∠DEF，且∠ABC、∠DEF都是钝角，
∴180°﹣∠ABC=180°﹣∠DEF，
即∠CBG=∠FEH，
在△CBG和△FEH中，
，
第45页（共45页）
∴△CBG≌△FEH（AAS），
∴CG=FH，
在Rt△ACG和Rt△DFH中，
，
∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），
∴∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
（3）解：如图，△DEF和△ABC不全等；
（4）解：若∠B≥∠A，则△ABC≌△DEF．
故答案为：（1）HL；（4）∠B≥∠A．
25．（2014•德州）问题背景：
如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 EF=BE+DF ；
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探索延伸：
如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
实际应用：
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
【解答】解：问题背景：EF=BE+DF；
探索延伸：EF=BE+DF仍然成立．
证明如下：如图，延长FD到G，使DG=BE，连接AG，
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，
∴∠B=∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
第45页（共45页）
，
∴△AEF≌△GAF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
实际应用：如图，连接EF，延长AE、BF相交于点C，
∵∠AOB=30°+90°+（90°﹣70°）=140°，
∠EOF=70°，
∴∠EOF=∠AOB，
又∵OA=OB，
∠OAC+∠OBC=（90°﹣30°）+（70°+50°）=180°，
∴符合探索延伸中的条件，
∴结论EF=AE+BF成立，
即EF=1.5×（60+80）=210海里．
答：此时两舰艇之间的距离是210海里．
26．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC与BD相交于O点，OC=OA，若E是CD上任意一点，连接BE交AC于点F，连接DF．
（1）证明：△CBF≌△CDF；
（2）若AC=2，BD=2，求四边形ABCD的周长；
（3）请你添加一个条件，使得∠EFD=∠BAD，并予以证明．
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【解答】（1）证明：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BCA=∠DCA，
在△CBF和△CDF中，
，
∴△CBF≌△CDF（SAS），
（2）解：∵△ABC≌△ADC，
∴△ABC和△ADC是轴对称图形，
∴OB=OD，BD⊥AC，
∵OA=OC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，
∵AC=2，BD=2，
∴OA=，OB=1，
∴AB===2，
∴四边形ABCD的周长=4AB=4×2=8．
（3）当EB⊥CD时，即E为过B且和CD垂直时垂线的垂足，∠EFD=∠BCD，
理由：∵四边形ABCD为菱形，
∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，∠BCD=∠BAD，
∵△BCF≌△DCF，
第45页（共45页）
∴∠CBF=∠CDF，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=∠DEF=90°，
∴∠BCD+∠CBF=90°，∠EFD+∠CDF=90°，
∴∠EFD=∠BAD．
27．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E、B、D、F在同一直线上，且BE=DF．求证：AE=CF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∴180°﹣∠ABD=180°﹣∠CDB，
即∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE=CF．
28．（1）如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG．求证：EF=FG．
（2）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长．
第45页（共45页）
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，
∠ABE=∠ADG，AD=AB，
在△ABE和△ADG中，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，
∴∠EAG=90°，
在△FAE和△GAF中，
，
∴△FAE≌△GAF（SAS），
∴EF=FG；
（2）解：如图，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．
∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°．
∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°．
在△ABM和△ACE中，
第45页（共45页）
∴△ABM≌△ACE（SAS）．
∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．
∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°．
于是，由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°．
在△MAN和△EAN中，
∴△MAN≌△EAN（SAS）．
∴MN=EN．
在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2=EC2+NC2．
∴MN2=BM2+NC2．
∵BM=1，CN=3，
∴MN2=12+32，
∴MN=
29．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF=∠CBG．求证：
（1）AF=CG；
（2）CF=2DE．
【解答】证明：（1）∵∠ACB=90°，CG平分∠ACB，
∴∠ACG=∠BCG=45°，
又∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAF=∠CBF=45°，
∴∠CAF=∠BCG，
第45页（共45页）
在△AFC与△CGB中，
，
∴△AFC≌△CBG（ASA），
∴AF=CG；
（2）延长CG交AB于H，
∵CG平分∠ACB，AC=BC，
∴CH⊥AB，CH平分AB，
∵AD⊥AB，
∴AD∥CG，
∴∠D=∠EGC，
在△ADE与△CGE中，
，
∴△ADE≌△CGE（AAS），
∴DE=GE，
即DG=2DE，
∵AD∥CG，CH平分AB，
∴DG=BG，
∵△AFC≌△CBG，
∴CF=BG，
∴CF=2DE．
30．如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF．
第45页（共45页）
（1）如图①，当∠BAE=90°时，求证：CD=2AF；
（2）当∠BAE≠90°时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由．
【解答】（1）证明：如图①，
∵∠BAC+∠EAD=180°，∠BAE=90°，
∴∠DAC=90°，
在△ABE与△ACD中
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴CD=BE，
∵在Rt△ABE中，F为BE的中点，
∴BE=2AF，
∴CD=2AF．
（2）成立，
证明：如图②，延长EA交BC于G，在AG上截取AH=AD，
∵∠BAC+∠EAD=180°，
∴∠EAB+∠DAC=180°，
∵∠EAB+∠BAH=180°，
∴∠DAC=∠BAH，
在△ABH与△ACD中，
∴△ABH≌△ACD（SAS）
∴BH=DC，
第45页（共45页）
∵AD=AE，AH=AD，
∴AE=AH，
∵EF=FB，
∴BH=2AF，
∴CD=2AF．
第45页（共45页）
第45页（共45页）
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