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名师点金：本章主要学习了全等三角形的性质与判定及角平分线的性质与判定，对于三角形全等主要考查利用全等三角形证明线段或角的等量关系，以及判断位置关系等，对于角平分线主要考查利用角平分线的性质求距离、证线段相等．
两个概念
全等形
1．如图，将标号为A，B，C，D的正方形沿图中的虚线剪开后，得到标号为N，Q，M，P的四个图形，填空：
A与________对应；B与________对应；
C与________对应；D与________对应．
(第1题)
全等三角形
2．如图，已知△ABE与△ACD全等，∠1＝∠2，∠B＝∠C，指出全等三角形中的对应边和对应角．
(第2题)
3．如图所示，已知△ABD≌△
ACD，且B，D，C在同一条直线上，那么AD与BC有怎样的位置关系？为什么？
(第3题)
两个性质
全等三角形的性质
4．【2016·天水】(1)如图①，已知△ABC，以AB，AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)，并证明：BE＝CD；
(2)如图②，已知△ABC，以AB，AC为边分别向△ABC外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，猜想BE与CD有什么数量关系？并说明理由．
(第4题)
角平分线的性质
5．如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，∠EAF＝∠BAE.求证：AF＝BC＋FC.
(第5题)
两个判定
全等三角形的判定
6．课间，小明拿着老师的等腰直角三角尺玩，不小心掉到两堆砖块之间，如图所示．
(1)求证：△ADC≌△CEB；
(2)已知DE＝35 cm，请你帮小明求出砖块的厚度a的大小(每块砖的厚度相同)．
(第6题)
角平分线的判定
7．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF.
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)猜想写出AB＋AC与AE之间的数量关系并给予证明．
(第7题)
四个技巧
构造全等三角形法
8．如图∠BAC是钝角，AB＝AC，D，E分别在AB，AC上，且CD＝BE.求证：∠AEB＝∠ADC.
(第8题)
9．如图，AB＝DC，∠A＝∠D，求证：∠ABC＝∠DCB.
(第9题)
构造角平分线法
10．【中考·黄冈】已知：如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE＝DF.
(第10题)
截长(补短)法
11．如图，AB∥CD，CE，BE分别平分∠BCD和∠CBA，点E在AD上，求证：BC＝AB＋CD.
(第11题)
倍长中线法
12．如图，CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC.求证：CD＝2CE.
(第12题)
两种思想
建模思想
13．如图，某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测到了河的宽度，他们是这样做的：
①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直走20步有一棵树C，继续前行20步到达D处；③从D处沿岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得DE的长就是河宽AB.
请你证明他们做法的正确性．
(第13题)
转化思想
14．如图，已知AB＝AE，∠C＝∠D，BC＝ED，点F是CD的中点，则AF平分∠BAE，为什么？
(第14题)
答案
1．M；N；Q；P
2．解：AB与AC，AE与AD，BE与CD是对应边；∠B与∠C，∠2与∠1，∠BAE与∠CAD是对应角．
3．解：AD⊥BC. 理由略．
4．解：(1)完成作图，如图所示．
(第4题)
证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°.
∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB.
∴△CAD≌△EAB.
∴CD＝EB，即BE＝CD.
(2)BE＝CD.理由如下：
∵四边形ABFD和四边形ACGE都是正方形，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°.
∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB.
∴△CAD≌△EAB.
∴CD＝EB，即BE＝CD.
5．证明：如图，过点E作EG⊥AF，垂足为点G.连接EF.
∵∠BAE＝∠EAF，∴AE为∠BAF的平分线．
又∵EB⊥AB，EG⊥AF，∴EB＝EG.
在Rt△ABE和Rt△AGE中，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE(HL)，∴AB＝AG.
∵在正方形ABCD中，AB＝BC，
∴BC＝AG.又∵点E是BC的中点，
∴BE＝EC＝EG.在Rt△EGF和Rt△ECF中，
∴Rt△EGF≌Rt△ECF(HL)．
∴GF＝CF，∴AF＝AG＋GF＝BC＋FC.
(第5题)
6．(1)证明：由题意得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠ACD＋∠BCE＝90°.∴∠ACD＋∠CAD＝90°，∴∠BCE＝∠CAD.在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB(AAS)．
(2)解：由题意得AD＝4a，BE＝3a.由(1)知△ADC≌△CEB，∴DC＝BE＝3a，CE＝AD＝4a，∴DE＝DC＋CE＝7a.∵DE＝35 cm，∴a＝5 cm.
答：砖块的厚度a为5 cm.
7．(1)证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴∠E＝∠AFD＝∠DFC＝90°，在Rt△BDE和Rt△CDF中，∵BD＝CD，BE＝CF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE＝DF，∴AD平分∠BAC.
(2)解：AB＋AC＝2AE.证明如下：由(1)可知AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD.在△AED与△AFD中，∵∠EAD＝∠CAD，∠E＝∠AFD＝90°，AD＝AD，∴△AED≌△AFD，∴AE＝AF.又∵BE＝CF，∴AB＋AC＝AE－BE＋AF＋CF＝AE＋AE＝2AE.
8．证明：过点B，C分别作CA，BA延长线的垂线，垂足分别为F，G.
在△ABF和△ACG中，
∴△ABF≌△ACG(AAS)．
∴BF＝CG.
在Rt△BEF和Rt△CDG中，
∴Rt△BEF≌Rt△CDG(HL)．
∴∠AEB＝∠ADC.
点拨：判定两个三角形全等时，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
9．证明：
分别取AD，BC的中点N，M，连接BN，CN，MN，则有AN＝ND，BM＝MC.
在△ABN和△DCN中，
∴△ABN≌△DCN(SAS)．
∴∠ABN＝∠DCN，NB＝NC.
在△NBM和△NCM中，
∴△NBM≌△NCM(SSS)．
∴∠NBC＝∠NCB.
∴∠NBC＋∠ABN＝∠NCB＋∠DCN，
即∠ABC＝∠DCB.
点拨：证明三角形全等时常需添加适当的辅助线，辅助线的添加以能创造已知条件为上策，如本题取AD，BC的中点就是把中点作为了已知条件．分散证明，也是几何证明中的一种常用技巧．
10．证明：连接AD.
∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD，∴∠BAD＝∠CAD，
∴AD是∠EAF的平分线．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.
11．证明：(方法一——截长法)如图①，在BC上取一点F，使BF＝BA.连接EF，∵CE，BE分别平分∠BCD，∠CBA，
∴∠3＝∠4，∠1＝∠2.
在△ABE和△FBE中，
∴△ABE≌△FBE(SAS)．
∴∠A＝∠5.
∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°，而∠5＋∠6＝180°，∴∠6＝∠D.
在△EFC和△EDC中，
∴△EFC≌△EDC(AAS)，
∴FC＝DC，∴BC＝BF＋CF＝AB＋CD.
(方法二——补短法)如图②，延长BA至点F，使BF＝BC，
连接EF，∵CE，BE分别平分∠BCD，∠CBA，
∴∠1＝∠2＝∠ABC，∠3＝∠4＝∠BCD.
在△BEF和△BEC中，
∴△BEF≌△BEC(SAS)．
∴EF＝EC，∠F＝∠3＝∠4.
∵AB∥CD，∴∠7＝∠D.
在△AEF和△DEC中，
∴△AEF≌△DEC(AAS)，∴AF＝CD.
∵BC＝BF＝AB＋AF，∴BC＝AB＋CD.
(第11题)
12．证明：如图，延长CE到点F，使EF＝CE，连接FB，则CF＝2CE.
∵CE是△ABC的中线，∴AE＝BE.
在△BEF和△AEC中，
∴△BEF≌△AEC(SAS)．∴∠EBF＝∠EAC，BF＝AC.
过点A作AG⊥BC于点G，则∠AGC＝∠AGB＝90°.
∵∠ABC＝∠ACB，AG＝AG，
∴△AGC≌△AGB.∴AC＝AB.
又∵∠ABC＝∠ACB，∴∠CBD＝∠BAC＋∠ACB＝∠EBF＋∠ABC＝∠CBF.
∵CB是△ADC的中线，∴AB＝BD.
又∵AB＝AC，AC＝BF，
∴BF＝BD.在△CBF和△CBD中，
∴△CBF≌△CBD(SAS)．
∴CF＝CD.∴CD＝2CE.
(第12题)
13．证明：由做法知：
在△ABC和△EDC中，
∴△ABC≌△EDC(ASA)．
∴AB＝ED，
即他们的做法是正确的．
14．解：连接BF，EF.
∵点F是CD的中点，∴CF＝DF.
在△BCF和△EDF中，
∴△BCF≌△EDF(SAS)．
∴BF＝EF.
在△ABF和△AEF中，
∴△ABF≌△AEF(SSS)．
∴∠BAF＝∠EAF.∴AF平分∠BAE.
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