19.3 正方形
一、选择题（12 个题，共 48 分）
1、正方形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A、四个角相等 B、对角线相等 C、对角线垂直 D、对角线互相平分
2、正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A、四条边相等 B、是轴对称图形 C、是中心对称图形 D、对角线相等
3、下列叙述中，错误的是（ ）
A、有一组邻边相等的矩形是正方形 B、有一个角是直角的菱形是正方形
C、对角线垂直平分且相等的四边形是正方形
D、是轴对称也是中心对称是四边形是正方形
4、正方形的周长为１２cm,则对角线的长为（ ）
A、3 cm B、3 cm C、6 cm D、6 cm
5、将五个边长都为 2cm 的正方形按如图所示摆放，点 A、B、C、D 分别是四个正方形的中心，则图
中四块阴影面积的和为（ ）
（第 5 题图）
A．2 cm2 B．4 cm2 C．6 cm2 D．8 cm2
6、如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是边 BC、CD 上的点，∠EAF=45°，△ECF 的周长为 4，则
正方形 ABCD 的边长为（ ）
（第 6 题图）
A．2 B．3 C．4 D．5
2 27、正方形 ABCD、正方形 BEFG 和正方形 RKPF 的位置如图所示，点 G 在线段 DK 上，正方形 BEFG 的
边长为 4，则△DEK 的面积为（ ）
（第 7 题图）
A．10 B．12 C．14 D．16
8、如图，点 P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，PE⊥BC 于点 E；PF⊥CD 于点 F，连接 EF，给出
下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③∠PFE=∠BAP；④PD=EC；⑤PB2+PD2=2PA2，正确的有
（ ）个．
（第 8 题图）
A．5 B．4 C．3 D．2
9、如图，E 是边长为 4 的正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，且 BE=BC，P 为 CE 上任意一点，
PQ⊥BC 于点 Q，PR⊥BR 于点 R，则 PQ+PR 的值是（ ）
（第 9 题图）
A．2 B．2 C．2 D．
10、如图，正方形 ABCD 中，AE=AB，直线 DE 交 BC 于点 F，则∠BEF=（ ）（第 10 题图）
A．35° B．45° C．55° D．60°
11、如图，边长为 2 的正方形 ABCD 的顶点 A 在 y 轴上，顶点 D 在反比例函数 y= （x＞0）的图象
上，已知点 B 的坐标是（ ， ），则 k 的值为（ ）
（第 11 题图）
A．4 B．6 C．8 D．10
12、（2014 宜兴市校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，3），以 AB 为边在
第一象限作正方形 ABCD，点 D 在双曲线 y= （k≠0）上，将正方形沿 x 轴负方向平移 m 个单位长
度后，点 C 恰好落在双曲线上，则 m 的值是（ ）
（第 12 题图）
A．2 B．3 C． D．
二、填空题（6 个题，共 24 分）
13、正方形的对角线长为 10cm，则正方形的面积为 ；14、如图，直角坐标系中，点 P（t，0）是 x 轴正半轴上的一个动点，过点 P 作 y 轴的平行线，分
别与直线 ，直线 y=﹣x 交于 A，B 两点，以 AB 为边向右侧作正方形 ABCD．当点（3，0）在正
方形 ABCD 内部时，t 的取值范围是 ．
（第 14 题图）
15、正方形 A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2、…，按如图所示的方式放置．点 A1、A2、A3、…和点 C1、
C2、C3、…分别在直线 y=x+1 和 x 轴上，则第 2015 个正方形 A2015B2015C2015C2014 的边长
为 ．
（第 15 题图）
16、如图，E 是正方形 ABCD 的边 CD 的中点，AE 的垂直平分线分别交 AE、BC 于 H、G，若 CG=7，则
正方形 ABCD 的面积等于 ．
（第 16 题图）
17、如图，正方形 ABCD 的对角线 AC 是菱形 AEFC 的一边，则∠FAB 的度数
为 ．（第 17 题图）
18、如图，在正方形 ABCD 中，△AEF 的顶点 E，F 分别在 BC、CD 边上，高 AG 与正方形的边长相
等，连 BD 分别交 AE、AF 于点 M、N，若 EG=4，GF=6，BM= ，则 MN 的长
为 ．
（第 18 题图）
三、解答题（5 个题，共 57 分）
19、如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 上一点，直线 AE 交 BD 于点 M，交 DC 的延长线于点 F，G 是
EF 的中点，连结 CG．求证：
①△ABM≌△CBM；
②CG⊥CM．
（第 19 题图）20、如图，正方形 ABCD 的边长为 6，点 E 在边 AB 上，连接 ED，过点 D 作 FD⊥DE 与 BC 的延长线相
交于点 F，连接 EF 与边 CD 相交于点 G、与对角线 BD 相交于点 H．
（1）若 BD=BF，求 BE 的长；
（2）若∠2=2∠1，求证：HF=HE+HD．
（第 20 题图）参考答案
一、1.C 2.D 3.D 4.B 5.B 6.A 7.D 8.B 9.A 10.B 11.C
12.A
二、13. 50cm2 14. ＜t＜3 15.22014 16. 64
17.22.5° 18.
三、19. 证明：①∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=CB，∠ABM=∠CBM.
在△ABM 和△CBM 中，
，
∴△ABM≌△CBM（SAS）.
②∵△ABM≌△CBM，
∴∠BAM=∠BCM.
∵∠ECF=90°，G 是 EF 的中点，
∴GC=GF，
∴∠GCF=∠F.
又∵AB∥DF，
∴∠BAM=∠F，
∴∠BCM=∠GCF，
∴∠BCM+∠GCE=∠GCF+∠GCE=90°，
∴GC⊥CM．（第 19 题答图）
20. （1）解：∵四边形 ABCD 是正方形，且 FD⊥DE，
∴∠ADE=90°﹣∠EDC=∠CDF，AD=DC，∠A=∠DCF=90°，
在△DAE 和△DCF 中，
，
∴Rt△DAE≌Rt△DCF（AAS），
∴AE=CF，
∵CF=BF﹣BC=BD﹣BC=6 ﹣6，
∴BE=AB﹣AE=AB﹣CF=6﹣（6 ﹣6）=12﹣6 ；
（2）证明：在 HF 上取一点 P，使 FP=EH，连接 DP.
由（1）Rt△DAE≌Rt△DCF 得△EDF 是等腰直角三角形，
∴DE=DF，∠DEF=∠DFE=45°，
∴△DEH≌△DFP（SAS），
∴DH=DP，∠EDH=∠FDP.
在△DHE 和△FHB 中，
∵∠DEF=∠HBF=45°，∠EHD=∠BHF（对顶角），
∴∠EDH=∠1= ∠2= （45°﹣∠EDH），
∴∠EDH=15°，∠FDP=15°，
∴∠HDP=90°﹣15°﹣15°=60°，
∴△DHP 是等边三角形，∴HD=HP，HF=HE+HD．
（第 20 题图）
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