19.2.1 菱形的性质
1．如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD＝120°.若△ABC 的周长是 15，则菱形 ABCD 的周长是( )
（第 1 题图）
A．25 B．20 C．15 D．10
2．如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的顶点 C 的坐标是(3，4)，则顶点 A，B 的坐标
分别是( )
（第 2 题图）
A．(4，0)，(7，4) B．(4，0)，(8，4)
C．(5，0)，(7，4) D．(5，0)，(8，4)
3．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
4．如图，在菱形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，AC＝8，BD＝6，则菱形的边长 AB 等于( )
（第 4 题图）
A．10 B. 7 C．6 D．5
5．菱形 OACB 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点 C 的坐标是(6，0)，点 A 的纵坐标是
1，则点 B 的坐标是( ) （第 5 题图）
A．(3，1) B．(3，－1) C．(1，－3) D．(1，3)
6．如图，在菱形 ABCD 中，BE⊥AD，BF⊥CD，E，F 为垂足，AE＝ED，则∠EBF 等于( )
（第 6 题图）
A．75° B．60° C．50° D．45°
7．如图，在周长为 12 的菱形 ABCD 中，AE＝1，AF＝2，若 P 为对角线 BD 上一动点，则 EP＋
FP 的最小值为( )
（第 7 题图）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知菱形的周长为 20 cm，两个邻角的比是 1∶2，这个菱形较短的对角线的长是____cm.
9．如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AC＝8，BD＝6，OE⊥BC，垂足为点
E，则 OE＝____．
（第 9 题图）
10．菱形既是 图形，又是 图形．
11．如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的面积为 12，点 B 在 y 轴上，点 C 在反比例函
数 y＝
k
x的图象上，则 k 的值为____．
（第 11 题图）
12．已知四边形 ABCD 是菱形，DE⊥AB 于点 E，DF⊥BC 于点 F.求证：△ADE≌△CDF. （第 12 题图）
13．如图，菱形 ABCD 的对角线相交于点 O，延长 AB 至点 E，使 BE＝AB，连结 CE.
(1)求证：BD＝EC；
(2)若∠E＝50°，求∠BAO 的大小．
（第 13 题图）
14．如图，点 O 是菱形 ABCD 对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连结 OE. 求证：OE＝BC.
（第 14 题图）
15．如图，在菱形 ABCD 中，过 AD 的中点 E 作 AC 的垂线 EF，交 AB 于点 M，交 CB 的延长线
于点 F.如果 FB 的长是 2，求菱形 ABCD 的周长．
（第 15 题图）16．在菱形 ABCD 中，∠B＝60°，点 E 在边 BC 上，点 F 在边 CD 上．
(1)如图 1，若 E 是 BC 的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；
(2)如图 2，若∠EAF＝60°，求证：△AEF 是等边三角形．
（第 16 题图）
参考答案
1. B 2. D 3. D 4. D 5. B 6. B 7. C
8. 5 9.
12
5 10. 轴对称 中心对称 11. －6
12. 由 AAS 可证△ADE≌△CDF.
13. （1）∵四边形 ABCD 是菱形，∴AB 綊 CD.又∵BE＝AB，∴BE 綊 CD，∴四边形 BECD 是平
行四边形，∴BD＝EC. (2)∵四边形 BECD 是平行四边形，∴BD∥CE，∴∠ABO＝∠E＝50°.又∵四边形 ABCD 是菱形，∴AC⊥BD，∴∠BAO＝90°－∠ABO＝40°.
14. ∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形 OCED 是平行四边形.
∵四边形 ABCD 是菱形，∴∠COD＝90°，DC＝BC.
∴四边形 OCED 是矩形，∴DC＝OE，∴OE＝BC.
15. 连结 BD，∵在菱形 ABCD 中，∴AD∥BC，AC⊥BD.又∵EF⊥AC，∴BD∥EF，∴四边形 EFBD
为平行四边形，∴FB＝ED＝2.∵E 是 AD 的中点，∴AD＝2ED＝4，∴菱形 ABCD 的周长为 4×4
＝16.
16. (1)连结 AC，∵四边形 ABCD 是菱形，∴AB＝BC＝CD，
∵∠B＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∵E 是 BC 的中点，
∴AE⊥BC，∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－60°＝30°.
∵∠C＝180°－∠B＝120°，∴∠EFC＝30°，
∴∠FEC＝∠EFC，∴CE＝CF，∵BC＝CD，
∴BC－CE＝CD－CF，即 BE＝DF
(2)连结 AC，由(1)，得△ABC 是等边三角形，∴AB＝AC.
∵∠BAE＋∠EAC＝60°，∠EAF＝∠CAF＋∠EAC＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF.∵四边形 ABCD 是菱形，∠B＝60°，
∴∠ACF＝
1
2∠BCD＝∠B＝60°，∴△ABE≌△ACF(ASA)，
∴AE＝AF，∴△AEF 是等边三角形.
19.2.2 菱形的判定
一、选择题
1、下列说法，错误的是（ ）.
A、平行四边形的对角线互相平分
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形
C、菱形的对角线互相垂直
D、对角线互相垂直的四边形是菱形
2、如图，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 互相垂直，则下列条件能判定四边形 ABCD 为菱形的
条件是( )
A.BA=BC B.AC，BD 互相平分 C.AC=BD D.AB∥CD （第 2 题图）
3、如图，菱形 ABCD 的对角线的长分别为 2 和 5，P 是对角线 AC 上任一点（点 P 不与点 A、
C 重合）且 PE∥BC 交 AB 于 E ，PF∥CD 交 AD 于点 F ， 则阴影部分的面积是（ ）.
（第 3 题图）
A、2 B、 C、3 D、
4、如图，四边形 ABCD 内有一点 E，AE=BE=DE=BC=DC，AB=AD，若∠C=100°，则∠AED 的大
小是( )
A.120° B.130° C.140° D.150°
（第 4 题图）
5、如图△ABC 中，AD 是角平分线，DE∥AC 交 AB 于 E，DF∥AB 交 AC 于 F，若 AE＝4cm，那
么四边形 AEDF 周长为（ ）.
（第 5 题图）
A、12cm B、16cm C、20cm D、22cm
6、如图，O 是菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 的交点，E、F 分别是 OA、OC 的中点．下列结论：
①S△ADE＝S△EOD；②四边形 BFDE 也是菱形；③四边形 ABCD 的面积为 EF×BD；④∠ADE＝
∠EDO；⑤△DEF 是轴对称图形；其中正确的结论有（ ）.
（第 6 题图）
A、5 个 B、4 个 C、3 个 D、2 个
7、平面直角坐标系中，四边形 ABCD 的顶点坐标分别是 A（－3，0）、B（0，2）、C（3，0）、
D（0，－2），四边形 ABCD 是（ ）.
A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、梯形
8、如图，在平行四边形 ABCD 中，添加下列条件不能判定平行四边形 ABCD 是菱形的是
（ ）.
（第 8 题图）
A、AB＝BC B、AC⊥BD C、BD 平分∠ABC D、AC=BD
9、如图，在给定的一张平行四边形纸片上做一个菱形，甲、乙两人的作法如下：甲：连接
AC，做 AC 的垂直平分线 MN 分别交 AD，AC，BC 于 M，O，N，连接 AN，CM，则四边形 ANCM 是
菱形.乙：分别作∠A，∠B 的平分线 AE，BF，分别交 BC，AD 于 E，F，连接 EF，则四边形 ABEF
是菱形.根据两人的作法可判断( )
（第 9 题图）
A.甲正确，乙错误 B.乙正确，甲错误
C.甲、乙均正确 D.甲、乙均错误
10、如图，在△ABC 中，点 D、E、F 分别在边 AB、BC、CA 上，且 DE∥CA ，DF∥BA．下列四
种说法：①四边形 AEDF 是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形 AEDF 是矩形；③
如果 AD 平分∠BAC ，那么四边形 AEDF 是菱形；④如果 AD⊥BC 且 AB=AC，那么四边形 AEDF
是菱形.其中，正确的有（ ）.
（第 10 题图）
A、①②③④
B、②③④
C、③④
D、④
二、填空题
11、如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，BD 为 AC 的中线，过点 C 作 CE⊥BD 于点 E，过点 A
作 BD 的平行线，交 CE 的延长线于点 F，在 AF 的延长线上截取 FG＝BD，连接 BG、DF.若 AG＝
13，CF＝6，则 BG＝_______．
（第 11 题图）
12、如图，已知菱形 ABCD 的一个内角∠BAD=80°，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E 在 AB
上，且 BE=BO，则∠EOA=______.
（第 12 题图）
13、如图，在△ABC 中，点 D 是 BC 的中点，点 E，F 分别在线段 AD 及其延长线上，且
DE=DF，给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB=AC，从中选择一个条件使四边形 BECF
是菱形，你认为这个条件是__________(填序号).
（第 13 题图）14、如图，两张宽为 1cm 的矩形纸条交叉叠放，其中重叠部分是四边形 ABCD，已知∠BAD＝
60 ゜，则重叠部分的面积是________cm2 ．
（第 14 题图）
15、如图在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D 为斜边 AB 上一点，以 CD、CB 为
边作平行四边形 CDEB，当 AD＝________，平行四边形 CDEB 为菱形．
（第 15 题图）
三、综合题
16、如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，D、E 分别为 AB，AC 边上的中点，连接 DE，将△ADE
绕点 E 旋转 180°得到△CFE，连接 AF，AC．求证：四边形 ADCF 是菱形.
（第 16 题图）
17、如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，CB=CD，点 E 是 CD 上一点，BE 交 AC 于点 F，连接
DF.
(1)证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE；
(2)若 AB∥CD，试证明四边形 ABCD 是菱形；
(3) 在 (2) 的 条 件 下 ， 试 确 定 E 点 的 位 置 ， 使 ∠EFD=∠BCD ， 并 说 明 理 由 . （第 17 题图）
18、如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，BE＝2DE，过点 C 作 CF∥BE 交 DE 的延
长线于 F.求证：四边形 BCFE 是菱形.
19、如图，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，CB＝CD，E 是 CD 上一点，BE 交 AC 于点 F，连接
DF．
(1)证明：∠BAC＝∠DAC， ∠AFD＝∠CFE．
(2)若 AB∥CD， 试证明四边形 ABCD 是菱形．
（第 19 题图）
20、已知矩形 BEDG 和矩形 BNDQ 中，BE＝BN， DE＝DN．
(1)将两个矩形叠合成如上图，求证：四边形 ABCD 是菱形；
(2)若菱形 ABCD 的周长为 20，BE＝3，求矩形 BEDG 的面积． （第 20 题图）参考答案
一、 1、D 2、B 3、B 4、B 5、B 6、C 7、B 8、D 9、C
10、A
二、 11、5 12、25° 13、③ 14、 15、
三、 16、证明：∵将△ADE 绕点 E 旋转 180°得到△CFE ，
∴AE＝CE，DE＝EF，
∴四边形 ADCF 是平行四边形.
∵D、E 分别为 AB，AC 边上的中点，
∴DE 是△ABC 的中位线，
∴DE∥BC .
∵∠ACB＝90°，
∴∠AED＝90°，
∴DF⊥AC，
∴四边形 ADCF 是菱形．
17、(1)证明：∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC(SSS).
∴∠BAC=∠DAC.
∵AB=AD，∠BAF=∠DAF，AF=AF，
∴△ABF≌△ADF(SAS).
∴∠AFB=∠AFD.
又∵∠CFE=∠AFB，
∴∠AFD=∠CFE.
∴∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE.
(2)∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD.
又∵∠BAC=∠DAC，∴∠DAC=∠ACD.
∴AD=CD.
∵AB=AD，CB=CD，
∴AB=CB=CD=AD.
∴四边形 ABCD 是菱形.
(3)当 BE⊥CD 时，∠EFD=∠BCD.
理由：∵四边形 ABCD 为菱形，
∴BC=CD，∠BCF=∠DCF.
又∵CF 为公共边，
∴△BCF≌△DCF(SAS).
∴∠CBF=∠CDF.
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=∠DEF=90°.
∴∠ECB+∠CBF=∠EFD+∠EDF=90°.
∴∠EFD=∠BCD.
18、证明：∵D、E 分别是 AB、AC 的中点，
∴DE∥BC ，BC＝2DE ． ∵CF∥BE，
∴四边形 BCFE 是平行四边形.
∵BE＝2DE， BC＝2DE，
∴BE＝BC，
∴平行四边形 BCFE 是菱形．
9、证明：在△ABC 和△ADC 中， ，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC＝∠DAC，在△ABF 和△ADF 中， ，
∴△ABF≌△ADF（SAS），
∴∠AFD＝∠AFB.
∵∠AFB＝∠CFE，
∴∠AFD＝∠CFE．
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD.
又∵∠BAC＝∠DAC，
∴∠CAD＝∠ACD，
∴AD＝CD
∵AB＝AD， CB＝CD，
∴AB＝CB＝CD＝AD，
∴四边形 ABCD 是菱形．
20、证明：作 AR⊥BC 于点 R AS⊥CD于点 S. 由题意知AD∥BC，AB∥CD，∴四边形 ABCD 是平
行四边形.∵矩形 BEDG 和矩形 BNDQ 中，BE＝BN， DE＝DN，∴AR＝AS. ∵AR•BC＝AS•CD，∴BC
＝CD，∴平行四边形 ABCD 是菱形．
（第 20 题答图）
（2）解：∵菱形 ABCD 的周长为 20，∴AD＝AB＝BC=CD＝5.∵BE＝3，∴AE＝4，∴DE＝5＋4
＝9，∴矩形 BEDG 的面积为 3×9＝27．
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