16.3 可化为一元一次方程的分式方程
一、选择题
1．下列方程是分式方程的是（ ）
A.
B. C. D. 2x+1=3x
2．若 x=3 是分式方程 - =0 的根,则 a 的值是( )
A. 5 B. -5 C. 3 D. -3
3．若分式方程 有增根，则 a 的值是（ ）
A. 1 B. 0 C. ﹣2 D. ﹣1
4．已知关于 的分式方程 的解是正数，则 的取值范围是（ ）
A. 且 B. C. 且 D. 且
5．若关于 x 的方程 无解，则 m 的值是( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. -1
6.从﹣3，﹣1， ，1，3 这五个数中，随机抽取一个数，记为 a，若数 a 使关于 x 的不等式
组 无解，且使关于 x 的分式方程 ﹣ =﹣1 有整数解，那么这 5 个
数中所有满足条件的 a 的值之和是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣ D．
二、填空题
7．已若代数式 的值为零，则 x= ．
8.关于 x 的分式方程 =l 的解是 x≠l 的非负数，则 m 的取值范围是．
9．当 a 为__________时，关于 x 的方程 有增根.
10．若关于 的方程 的根为 ，则 应取值_________．
11．关于 x 的方程 的解是负数，则 a 的取值范围是________．
三、解答题
1 02 3
x− = 4 2x
= − 2 1 3x − =
-2a
x
1
-2x
1 32 2
a x
x x
−+ =− −
x 1 211 1
m
x x
− − =− − m
4m < 3m ≠ 4m < 4m ≤ 3m ≠ 5m > 6m ≠
m 1 x 0x 1 x 1
− − =− −
m 3
x 1 1 x
+− −
3 11
x a
x x
− − =−
x 2 3 5
4
ax
a x
+ =− =2x a
2 11
x a
x
+ =−12．解方程：（1） ； （2）
.
13．若关于 x 的方程 的解是正数，求 k 值．
14．当 k 为何值时，分式方程 有增根？
15．已知 x＝3 是方程 的一个根，求 k 的值和方程其余的根.
16.小明解方程 的过程如图.请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过
程.
5 12 5 5 2
x
x x
+ =− − 2
1 4 11 1
x
x x
+ − =− −
2
1
1 1 1
x k x
x x x
−− =− − +
1 2 1x
x x
−− =17．阅读下列材料：
关于 x 的分式方程 x＋ =c＋ 的解是 x1=c，x2=
x－ = c－ ，即 x＋ =c+ 的解是 x1=c，x2= ；
x＋ =c＋ 的解是 x1=c，x2= ；
x＋ =c＋ 的解是 x1=c，x2= .
请观察上述方程与解的特征,比较关于 x 的方程 x＋ =c＋ (m≠0)与它的关系,猜想它的解
是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证.
由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论；如果方程的左边是未知数与其倒数的倍
数的和,方程右边形式与左边的完全相同,只是把其中未知数换成某个常数，那么这样的方程
可以直接得解.
请利用这个结论解关于 x 的方程:参考答案
1．B【解析】A 选项是一元一次方程；B 选项的方程的分母中含有未知数，所以为分式方程；C
选项是一元二次方程；D 选项是一元一次方程.故选 B.
2．A【解析】把 x=3 代入原分式方程得， ，解得，a=5，经检验 a=5 适合
原方程.故选 A.
3．C【解析】分式方程去分母，得 1+3(x−2)=−a.由分式方程有增根，得到 x−2=0，即 x=2，
代入整式方程得：−a=1.解得 a=−1.故选 C.
4．A【解析】方程两边同乘以 得， .解得 .∵ 是正数，
∴ ，解得 .∵ ，∴ ，即 ，∴ 的取值范围是 且
，故选 ．
5．B【解析】去分母，得 m-1-x=0.由分式方程无解，得到 x−1=0，即 x=1，把 x=1 代入整式
方程，得 m−2=0，解得 m=2.故选 B.
6. 【解析】 得 .∵不等式组 无解， ∴a≤1，
解方程 ﹣ =﹣1 得 x= .∵x= 为整数，a≤1，∴a=﹣3 或 1，∴所有满足
条件的 a 的值之和是﹣2.故选 B．
二、填空题
7．3【解析】由题意，得 =0，解得 x=3，经检验的 x=3 是原方程的根．
8.m≥2 且 m≠3【解析】去分母，得 m﹣3=x﹣1，解得 x=m﹣2.由题意，得 m﹣2≥0，解得
m≥2，因为 x≠1，所以 m≠3，所以 m 的取值范围是 m≥2 且 m≠3．
9．1【解析】 － =1，x（x－a）－3（x－1）=x（x－1），x2－ax－3x+3=x2－x，
（a+2）x=3.因为分式方程有增根，所以 a+2≠0，且 x= =1 或 0，解得 a=1.
10．a=-2【解析】把 x=2 代入方程
，
得 ，在方程两边同乘 4（a﹣2），
2 1 03 3 2
a − − =−
1x − ( )1 1 2 0m x− − − + = 4x m= − x
4 0m− > 4m < 1x ≠ 4 1m− ≠ 3m ≠ m 4m <
3m ≠ A
1
x a
x
−
−
3
x
3
2a +
2 3 5
4
ax
a x
+ =−
4 3 5
2 4
a
a
+ =−得 4（4a+3）=5（a﹣2），解得 a=﹣2，检验当 a=﹣2 时，a﹣x≠0.
11．a>-1【解析】 ,2x+a=x-1,2x-x=a-1,x=-a-1,-a-1>0,解得 a0,
∴k>1，
当 x≠1 时，即 ，k≠3,
所以综合可得，k＞1 且 k≠3.
14．解：方程两边同乘以 x（x﹣1）得：6x=x+2k﹣5（x﹣1）.
又∵分式方程有增根，∴x（x﹣1）=0，解得：x=0 或 1.
当 x=1 时，代入整式方程得 6×1=1+2k﹣5（1﹣1），解得 k=2.5.
当 x=0 时，代入整式方程得 6×0=0+2k﹣5（0﹣1），
2 11
x a
x
+ =−
5 12 5 2 5
x
x x
− =− −
2 5x − 5 2 5x x− = −
2 5 0x − ≠
2
1 4 11 1
x
x x
+ − =− −
2
1
1 1 1
x k x
x x x
−− =− − +
( ) ( ) ( )1 1 1x x k x x+ − − = −
1
2
k −
1
2
k −
1 12
k − ≠解得 k=﹣2.5，
则当 k=2.5 或﹣2.5 时，分式方程有增根．
15．解：由题意，得 2＋＝1,∴k＝－3.
方程两边都乘 x·（x＋2），约去分母，得
10x－3（x＋2）＝x（x＋2）.
整理，得 x2－5x＋6＝0，
x1＝2,x2＝3.
检验 x＝2 时，x（x＋2）＝8≠0
∴2 是原方程的根，
x＝3 时，x（x＋2）＝15≠0，
∴3 是原方程的根.
∴原方程的根为 x1＝2，x2＝3
16. 解：小明的解法有三处错误：
步骤①去分母错误；步骤②去括号错误；步骤⑥之前缺少“检验”步骤.
正确的解答过程如下：
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
两边同除以 ，得 .
经检验， 是原方程的解，
∴原方程的解是 .
17．（1） ；验证：（略）
（2）
解：猜想： 的解为 .
( )1 2x x− − =
1 2x x− + =
1 2x x− − = − −
2 3x− = −
2− 3
2x =
3
2x =
3
2x =验证：当 x=c 时， =右边，所以 x1=c 是原方程的解.
同理可得 也是原方程的解.
所以 的根为 .
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