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专题检测（七） 统计与统计案例
一、选择题
1．(2018届高三·西安八校联考)某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数法抽取样本时，先将60个同学按01,02，03，…，60进行编号，然后从随机数表第9行第5列的数开始向右读，则选出的第6个个体是( )
(注：下表为随机数表的第8行和第9行)
6301 6378 5916 9555 6719 9810 5071 7512 8673 5807 4439
5238 79
3321 1234 2978 6456 0782 5242 0744 3815 5100 1342 9966
0279 54
A．07 B．25
C．42 D．52
解析：选D 依题意得，依次选出的个体分别是12,34,29,56,07,52，…因此选出的第6个个体是52.
2．(2016·全国卷Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( )
A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上
B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个
解析：选D 由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A正确；七月的平均温差约为10 ℃，而一月的平均温差约为5 ℃，故B正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，C正确；故D错误．
3．为了了解高一、高二、高三学生的身体状况，现用分层抽样的方法抽取一个容量为1 200的样本，三个年级学生人数之比依次为k∶5∶3，已知高一年级共抽取了240人，则高三年级抽取的人数为( )
A．240 B．300
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C．360 D．400
解析：选C 因为高一年级抽取学生的比例为＝，所以＝，解得k＝2，故高三年级抽取的人数为1 200×＝360.
4．某同学为了解自己记忆成语的个数与所花费的时间(单位：秒)的关系，做了5次试验，收集到的数据如表所示，由最小二乘法求得的回归直线方程为＝0.74x＋50.
成语个数x/个
10
20
30
40
50
记忆时间y/秒
61
m
n
81
89
则m＋n的值为( )
A．130 B．129
C．121 D．118
解析：选A 由表中数据得，＝30，＝(61＋m＋n＋81＋89)＝(231＋m＋n)，将＝30，＝(231＋m＋n)代入回归直线方程，得m＋n＝130.
5．(2017·宝鸡质检)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，样本容量为200，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25,30)的为一等品，在区间[20,25)和[30,35)的为二等品，其余均为三等品，则该样本中三等品的件数为( )
A．5 B．7
C．10 D．50
解析：选D 根据题中的频率分布直方图可知，三等品的频率为1－(0.050 0＋0.062 5＋0.037 5)×5＝0.25，因此该样本中三等品的件数为200×0.25＝50.
6．为比较甲、乙两地某月11时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中11时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：
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①甲地该月11时的平均气温低于乙地该月11时的平均气温
②甲地该月11时的平均气温高于乙地该月11时的平均气温
③甲地该月11时的气温的标准差小于乙地该月11时的气温的标准差
④甲地该月11时的气温的标准差大于乙地该月11时的气温的标准差
其中根据茎叶图能得到的正确结论的编号为( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
解析：选C 由茎叶图和平均数公式可得甲、乙两地的平均数分别是30,29，则甲地该月11时的平均气温高于乙地该月11时的平均气温，①错误，②正确，排除A和B；又甲、乙两地该月11时的标准差分别是s甲＝＝，s乙＝＝，则甲地该月11时的气温的标准差小于乙地该月11时的气温的标准差，③正确，④错误，故选项C正确．
7．(2017·石家庄一模)下列说法错误的是( )
A．回归直线过样本点的中心(，)
B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1
C．对分类变量X与Y，随机变量K2的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小
D．在回归直线方程＝0.2x＋0.8中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量就增加0.2个单位
解析：选C 根据相关定义知选项A、B、D均正确；选项C中，对分类变量X与Y，随机变量K2的观测值k越大，对判断“X与Y有关系”的把握程度越大，故C错误．
8．(2017·全国卷Ⅰ)为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )
A．x1，x2，…，xn的平均数
B．x1，x2，…，xn的标准差
C．x1，x2，…，xn的最大值
D．x1，x2，…，xn的中位数
解析：选B 标准差能反映一组数据的稳定程度．故选B.
9．一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{an}，若a3＝8，且a1，a3，a7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是( )
A．13,12 B．13,13
C．12,13 D．13,14
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解析：选B 设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，a3＝8，a1a7＝a＝64，(8－2d)(8＋4d)＝64，即2d－d2＝0，又d≠0，故d＝2，故样本数据为：4,6,8,10,12,14,16,18,20,22，平均数为＝13，中位数为＝13.
10．通过随机询问110名学生是否爱好打篮球，得到如下的列联表：
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0)
0.05
0.01
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
参照附表：得到的正确结论是( )
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好打篮球与性别无关”
B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好打篮球与性别有关”
C．有99%以上的把握认为“爱好打篮球与性别无关”
D．有99%以上的把握认为“爱好打篮球与性别有关”
解析：选D 因为K2＝≈7.822>6.635，所以在犯错误的概率不超过1%的前提下，即有99%以上的把握认为“爱好打篮球与性别有关”．
11．给出下列四个命题：
①某班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中另一位同学的编号为23；
②一组数据1,2,3,3,4,5的平均数、众数、中位数都相同；
③若一组数据a,0,1,2,3的平均数为1，则其标准差为2；
④根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为＝＋x，其中＝2，＝1，＝3，则＝1.
其中真命题有( )
A．①②④ B．②④
C．②③④ D．③④
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解析：选B 在①中，由系统抽样知抽样的分段间隔为52÷4＝13，故抽取的样本的编号分别为7号、20号、33号、46号，故①是假命题；在②中，数据1,2,3,3,4,5的平均数为(1＋2＋3＋3＋4＋5)＝3，中位数为3，众数为3，都相同，故②是真命题；在③中，因为样本的平均数为1，所以a＋0＋1＋2＋3＝5，解得a＝－1，故样本的方差为[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2，标准差为，故③是假命题；在④中，回归直线方程为＝x＋2，又回归直线过点(，)，把(1,3)代入回归直线方程＝x＋2，得＝1，故④是真命题．
12．某中学为了普及奥运会知识和提高学生参加体育运动的积极性，举行了一次奥运知识竞赛．随机抽取了30名学生的成绩，绘成如图所示的茎叶图．若规定成绩在75分以上(包括75分)的学生为甲组，成绩在75分以下(不包括75分)的学生为乙组．
已知在这30名学生中，甲组学生中有男生9人，乙组学生中有女生12人，则认为“成绩分在甲组或乙组与性别有关”的把握有( )
A．90% B．95%
C．99% D．99.9%
附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.01
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
解析：选B 根据茎叶图的知识作出2×2列联表为
甲组
乙组
总计
男生
9
6
15
女生
3
12
15
总计
12
18
30
由列联表中的数据代入公式得K2的观测值k＝＝5，因为5>3.841，故有95%的把握认为“成绩分在甲组或乙组与性别有关”．
二、填空题
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13．如图是某学校一名篮球运动员在10场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这10场比赛中得分的中位数为________．
解析：把10场比赛的所得分数按顺序排列：5,8,9,12,14,16,16,19,21,24，中间两个为14与16，故中位数为＝15.
答案：15
14．为了研究雾霾天气的治理，某课题组对部分城市进行空气质量调查，按地域特点把这些城市分成甲、乙、丙三组，已知三组城市的个数分别为4，y，z依次构成等差数列，且4，y，z＋4成等比数列，若用分层抽样抽取6个城市，则乙组中应抽取的城市个数为________．
解析：由题意可得即解得z＝12，或z＝－4(舍去)，故y＝8.所以甲、乙、丙三组城市的个数分别为4,8,12.因为一共要抽取6个城市，所以抽样比为＝.故乙组城市应抽取的个数为8×＝2.
答案：2
15．(2017·惠州三调)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)：
零件数x/个
10
20
30
40
50
加工时间y/分钟
62
68
75
81
89
由最小二乘法求得回归方程＝0.67x＋，则的值为________．
解析：因为＝＝30，＝＝75，所以回归直线一定过样本点的中心(30,75)，则由＝0.67x＋可得75＝30×0.67＋，求得＝54.9.
答案：54.9
16．(2017·合肥质检)某同学在高三学年的五次阶段性考试中，数学成绩依次为110,114,121,119,126，则这组数据的方差是________．
解析：因为对一组数据同时加上或减去同一个常数，方差不变，所以本题中可以先对这5个数据同时减去110，得到新的数据分别为0,4,11,9,16，其平均数为8，根据方差公式可得s2＝[(0－8)2＋(4－8)2＋(11－8)2＋(9－8)2＋(16－8)2]＝30.8.
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答案：30.8
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