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专题检测（二十三） 第21题解答题“函数、导数与不等式”专练
1．已知函数f(x)＝
(1)求f(x)在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点；
(2)求f(x)在[－1，e](e为自然对数的底数)上的最大值．
解：(1)当x0时，f(x)在[1，e]上单调递增，
则f(x)在[1，e]上的最大值为f(e)＝a.
故当a≥2时，f(x)在[－1，e]上的最大值为a；
当a0)，
h′(x)＝－＋－2＝－
＝－，
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由h′(x)＜0，得0＜x＜或x＞1，
故h(x)的单调递减区间是和(1，＋∞)．
(2)问题等价于aln x＝有唯一的实根，
显然a≠0，则关于x的方程xln x＝有唯一的实根，
构造函数φ(x)＝xln x，则φ′(x)＝1＋ln x，
由φ′(x)＝1＋ln x＝0，得x＝e－1，
当0＜x＜e－1时，φ′(x)＜0，φ(x)单调递减，
当x＞e－1时，φ′(x)＞0，φ(x)单调递增，
∴φ(x)的极小值为φ(e－1)＝－e－1.
作出函数φ(x)的大致图象如图所示，则要使方程xln x＝有唯一的实根，只需直线y＝与曲线y＝φ(x)有唯一的交点，
则＝－e－1或＞0，
解得a＝－e或a＞0，
故实数a的取值范围是{－e}∪(0，＋∞)．
3．(2017·沈阳质检)已知函数f(x)＝ex－1－x－ax2.
(1)当a＝0时，证明：f(x)≥0；
(2)当x≥0时，若不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若x>0，证明：(ex－1)ln(x＋1)>x2.
解：(1)证明：当a＝0时，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1.
当x∈(－∞，0)时，f′(x)0.
故f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
f(x)min＝f(0)＝0，∴f(x)≥0.
(2)f′(x)＝ex－2ax－1，令h(x)＝ex－2ax－1，
则h′(x)＝ex－2a.
①当2a≤1，即a≤时，在[0，＋∞)上，h′(x)≥0，h(x)单调递增，h(x)≥h(0)，即f′(x)≥f′(0)＝0，
∴f(x)在[0，＋∞)上为增函数，∴f(x)≥f(0)＝0，
∴当a≤时满足条件．
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②当2a>1时，令h′(x)＝0，解得x＝ln 2a，在[0，ln 2a)上，h′(x).
设F(x)＝ln(x＋1)－，
则F′(x)＝－＝.
∵当x>0时，F′(x)>0恒成立，且F(0)＝0，
∴F(x)>0恒成立．
∴原不等式得证．
4．(2017·天津高考)设a，b∈R，|a|≤1.已知函数f(x)＝x3－6x2－3a(a－4)x＋b，g(x)＝exf(x)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)已知函数y＝g(x)和y＝ex的图象在公共点(x0，y0)处有相同的切线，
①求证：f(x)在x＝x0处的导数等于0；
②若关于x的不等式g(x)≤ex在区间[x0－1，x0＋1]上恒成立，求b的取值范围．
解：(1)由f(x)＝x3－6x2－3a(a－4)x＋b，
可得f′(x)＝3x2－12x－3a(a－4)＝3(x－a)[x－(4－a)]．
令f′(x)＝0，解得x＝a，或x＝4－a.
由|a|≤1，得a＜4－a.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，a)
(a,4－a)
(4－a，＋∞)
f′(x)
＋
－
＋
f(x)
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，a)，(4－a，＋∞)，单调递减区间为(a,4－a)．
(2)①证明：因为g′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)]，
由题意知
所以
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解得
所以f(x)在x＝x0处的导数等于0.
②因为g(x)≤ex，x∈[x0－1，x0＋1]，
由ex＞0，可得f(x)≤1.
又因为f(x0)＝1，f′(x0)＝0，
所以x0为f(x)的极大值点，结合(1)知x0＝a.
另一方面，由于|a|≤1，故a＋1＜4－a，
由(1)知f(x)在(a－1，a)内单调递增，在(a，a＋1)内单调递减，
故当x0＝a时，f(x)≤f(a)＝1在[a－1，a＋1]上恒成立，从而g(x)≤ex在[x0－1，x0＋1]上恒成立．
由f(a)＝a3－6a2－3a(a－4)a＋b＝1，
得b＝2a3－6a2＋1，－1≤a≤1.
令t(x)＝2x3－6x2＋1，x∈[－1,1]，
所以t′(x)＝6x2－12x，令t′(x)＝0，
解得x＝2(舍去)或x＝0.
因为t(－1)＝－7，t(1)＝－3，t(0)＝1，
因此t(x)的值域为[－7,1]．
所以b的取值范围是[－7,1]．
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