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专题检测（十九） 选修4-4 坐标系与参数方程
1．(2017·合肥一检)已知直线l的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为sin θ－ρcos2θ＝0.
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)写出直线l与曲线C交点的一个极坐标．
解：(1)∵sin θ－ρcos2θ＝0，∴ρsin θ－ρ2cos2θ＝0，
即y－x2＝0.
故曲线C的直角坐标方程为y－x2＝0.
(2)将代入y－x2＝0得，
＋t－2＝0，
解得t＝0，
从而交点坐标为(1，)，
∴交点的一个极坐标为.
2．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈.
(1)求半圆C的参数方程；
(2)若半圆C与圆D：(x－5)2＋(y－)2＝m(m是常数，m＞0)相切，试求切点的直角坐标．
解：(1)半圆C的普通方程为(x－2)2＋y2＝4(0≤y≤2)，
则半圆C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π)．
(2)C，D的圆心坐标分别为(2,0)，(5，)，
于是直线CD的斜率k＝＝.
由于切点必在两个圆心的连线上，
故切点对应的参数t满足tan t＝，t＝，
所以切点的直角坐标为，
即(2＋，1)．
3．(2017·宝鸡质检)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)．
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(1)求C的直角坐标方程；
(2)直线l：(t为参数)与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点E，求|EA|＋|EB|.
解：(1)由ρ＝2(cos θ＋sin θ)得ρ2＝2ρ(cos θ＋sin θ)，
得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2x＋2y，
即(x－1)2＋(y－1)2＝2.
(2)将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，
化简得t2－t－1＝0，
点E对应的参数t＝0，
设点A，B对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝1，t1t2＝－1，
所以|EA|＋|EB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2|
＝＝.
4．(2017·张掖一诊)在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(α为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρcos＝－，曲线C3：ρ＝2sin θ.
(1)求曲线C1与C2的交点M的直角坐标；
(2)设点A，B分别为曲线C2，C3上的动点，求|AB|的最小值．
解：(1)曲线C1：消去参数α，
得y＋x2＝1，x∈[－1,1]． ①
曲线C2：ρcos＝－⇒x＋y＋1＝0， ②
联立①②，消去y可得：x2－x－2＝0，
解得x＝－1或x＝2(舍去)，所以M(－1,0)．
(2)曲线C3：ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1，是以(0,1)为圆心，半径r＝1的圆．
设圆心为C，则点C到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝，所以|AB|的最小值为－1.
5．(2017·成都一诊)在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ－4sin θ＝0.
(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
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(2)已知点P(1,0)．若点M的极坐标为，直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．
解：(1)∵直线l的参数方程为(t为参数)，∴直线l的普通方程为y＝tan α·(x－1)．
由ρcos2θ－4sin θ＝0，得ρ2cos2θ－4ρsin θ＝0，
即x2－4y＝0.
∴曲线C的直角坐标方程为x2＝4y.
(2)∵点M的极坐标为，
∴点M的直角坐标为(0,1)．
∴tan α＝－1，直线l的倾斜角α＝.
∴直线l的参数方程为(t为参数)．
代入x2＝4y，得t2－6t＋2＝0.
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2.
∵Q为线段AB的中点，
∴点Q对应的参数值为＝＝3.
又点P(1,0)，则|PQ|＝＝3.
6．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.
(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
解：(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)．
由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.
由|OM|·|OP|＝16，得C2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)．
因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．
(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB＞0)，
由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面积
S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·
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＝2≤2＋.
当α＝－时，S取得最大值2＋.
所以△OAB面积的最大值为2＋.
7．(2017·成都二诊)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O的射线与曲线C相交于不同于极点的点A，且点A的极坐标为(2，θ)，其中θ∈.
(1)求θ的值；
(2)若射线OA与直线l相交于点B，求|AB|的值．
解：(1)由题意知，曲线C的普通方程为x2＋(y－2)2＝4，
∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
∴曲线C的极坐标方程为(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4，
即ρ＝4sin θ.
由ρ＝2，得sin θ＝，
∵θ∈，∴θ＝.
(2)由题易知直线l的普通方程为x＋y－4＝0，
∴直线l的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－4＝0.
又射线OA的极坐标方程为θ＝(ρ≥0)，
联立解得ρ＝4.
∴点B的极坐标为，
∴|AB|＝|ρB－ρA|＝4－2＝2.
8．在极坐标系中，已知曲线C1：ρ＝2cos θ和曲线C2：ρcos θ＝3，以极点O为坐标原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系．
(1)求曲线C1和曲线C2的直角坐标方程；
(2)若点P是曲线C1上一动点，过点P作线段OP的垂线交曲线C2于点Q，求线段PQ长度的最小值．
解：(1)C1的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，C2的直角坐标方程为x＝3.
(2)设曲线C1与x轴异于原点的交点为A，
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∵PQ⊥OP，
∴PQ过点A(2,0)．
设直线PQ的参数方程为
(t为参数)，
代入C1可得t2＋2tcos θ＝0，
解得t1＝0，t2＝－2cos θ，
可知|AP|＝|t2|＝|2cos θ|.
代入C2可得2＋tcos θ＝3，
解得t′＝，
可知|AQ|＝|t′|＝，
∴|PQ|＝|AP|＋|AQ|＝|2cos θ|＋≥2，当且仅当|2cos θ|＝时取等号，
∴线段PQ长度的最小值为2.
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