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专题检测（八） 排列与组合、二项式定理
一、选择题
1．设M，N是两个非空集合，定义M⊗N＝{(a，b)|a∈M，b∈N}，若P＝{0,1,2,3}，Q＝{1,2,3,4,5}，则P⊗Q中元素的个数是( )
A．4 B．9
C．20 D．24
解析：选C 依题意，a有4种取法，b有5种取法，由分步乘法计数原理得，有4×5＝20种不同取法，共有20个不同元素．
2．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为( )
A．224 B．112
C．56 D．28
解析：选B 根据分层抽样，从12个人中抽取男生1人，女生2人，所以抽取2个女生1个男生的方法有CC＝112种．
3．(2016·四川高考)设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为( )
A．－15x4 B．15x4
C．－20ix4 D．20ix4
解析：选A 二项式的通项为Tr＋1＝Cx6－rir，由6－r＝4，得r＝2.故T3＝Cx4i2＝－15x4.
4．某校为了提倡素质教育，丰富学生们的课外生活，分别成立绘画、象棋和篮球兴趣小组，现有甲、乙、丙、丁四名学生报名参加，每人仅参加一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一人报名，则不同报名方法有( )
A．12种 B．24种
C．36种 D．72种
解析：选C 由题意可知，从4人中任选2人作为一个整体，共有C＝6(种)，再把这个整体与其他2人进行全排列，对应3个活动小组，有A＝6(种)情况，所以共有6×6＝36(种)不同的报名方法．
5．在二项式n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是( )
A．－56 B．－35
C．35 D．56
解析：选A 因为展开式中恰好第5项的二项式系数最大，所以展开式共有9项，所以
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n＝8，所以二项展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx8－r(－x－1)r＝(－1)rCx8－2r，令8－2r＝2得r＝3，所以展开式中含x2项的系数是(－1)3C＝－56.
6．若(x2－a)10的展开式中x6的系数为30，则a等于( )
A. B．
C．1 D．2
解析：选D 依题意，注意到10的展开式的通项公式是Tr＋1＝C·x10－r·r＝C·x10－2r，10的展开式中含x4(当r＝3时)、x6(当r＝2时)项的系数分别为C、C，因此由题意得C－aC＝120－45a＝30，由此解得a＝2.
7．已知(x＋2)15＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a15(1－x)15，则a13的值为( )
A．945 B．－945
C．1 024 D．－1 024
解析：选B 由(x＋2)15＝[3－(1－x)]15＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a15(1－x)15，得T14＝T13＋1＝C32·(－1)13(1－x)13，∴a13＝C×32×(－1)13＝－945.
8．(2017·郑州第二次质量预测)将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数的个数为( )
A．72 B．120
C．192 D．240
解析：选D 将数字“124467”重新排列后所得数字为偶数，则末位数应为偶数．(1)若末位数字为2，因为含有2个4，所以有＝60种情况；(2)若末位数字为6，同理有＝60种情况；(3)若末位数字为4，因为有两个相同数字4，所以共有5×4×3×2×1＝120种情况．综上，共有60＋60＋120＝240种情况．
9．若(1－2x)2 017＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 017x2 017，则＋＋…＋的值为( )
A．2 B．0
C．－1 D．－2
解析：选C 当x＝0时，左边＝1，右边＝a0，∴a0＝1.
当x＝时，左边＝0，右边＝a0＋＋＋…＋，
∴0＝1＋＋＋…＋.
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即＋＋…＋＝－1.
10．(2017·石家庄质检)若a＝2 (x＋|x|)dx，则在a的展开式中，x的幂指数不是整数的项共有( )
A．13项 B．14项
C．15项 D．16项
解析：选C 因为a＝2 (x＋|x|)dx＝2＝2x2＝18，所以该二项展开式的通项Tr＋1＝C()18－rr＝(－1)rCx (0≤r≤18，且r∈N)，当r＝0,6,12,18时，展开式中x的幂指数为整数，所以该二项展开式中x的幂指数不是整数的项有19－4＝15项．
11．某项科技实验中，要先后实验8个程序，其中程序A和B在实施时必须相邻，且程序C只能出现在第一或最后一步，则该项实验顺序的编排方法种数为( )
A．720 B．1 440
C．2 880 D．3 600
解析：选C 第一步，程序C有C种不同的安排方法；第二步，将A和B看成一个程序与其他5个程序全排列，有A种不同的安排方法；第三步，安排A和B的顺序，有A种不同的安排方法，根据分步乘法计数原理，知不同的安排方法共有CAA＝2 880(种)．
12．已知(3x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn(n∈N*)，设(3x－1)n展开式的二项式系数和为Sn，Tn＝a1＋a2＋a3＋…＋an(n∈N*)，则Sn与Tn的大小关系是( )
A．Sn>Tn
B．Sn
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