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专题检测（十八） 概率与统计、随机变量及其分布列
A卷——夯基保分专练
一、选择题
1．已知某一随机变量ξ的分布列如下表所示，若E(ξ)＝6.3，则a的值为( )
ξ
a
7
9
P
b
0.1
0.4
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选A 根据随机变量ξ的分布列可知b＋0.1＋0.4＝1，所以b＝0.5.又E(ξ)＝0.5×a＋7×0.1＋9×0.4＝6.3，所以a＝4.
2．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )
A．0.648 B．0.432
C．0.36 D．0.312
解析：选A 3次投篮投中2次的概率为P(k＝2)＝C×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P(k＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P(k＝2)＋P(k＝3)＝C×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.
3．(2017·武汉调研)小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A＝“4个人去的景点不相同”，事件B＝“小赵独自去一个景点”，则P(A|B)＝( )
A. B.
C. D.
解析：选A 小赵独自去一个景点共有4×3×3×3＝108种可能性，4个人去的景点不同的可能性有A＝4×3×2×1＝24种，∴P(A|B)＝＝.
4．(2017·惠州三调)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛，则田忌获胜的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 设田忌的上、中、下三个等次的马分别为A，B，C，齐王的上、中、下三个等次的马分别为a，b，c
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，从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛的所有可能结果有Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，共9种，田忌获胜有Ab，Ac，Bc，共3种，所以田忌获胜的概率为.
5．(2017·西安八校联考)在平面区域{(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤4}内随机投入一点P，则点P的坐标(x，y)满足y≤x2的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 不等式组表示的平面区域的面积为2×4＝8，不等式组表示的平面区域的面积为x2dx＝＝，因此所求的概率P＝＝.
6．甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜2局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．记X为比赛决出胜负时的总局数，则X的数学期望是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 用Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”，
则P(Ak)＝，P(Bk)＝，k＝1,2,3,4,5.
X的所有可能取值为2,3,4,5，且P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)＝，
P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3)＝P(B1)P(A2)·P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝，
P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)＝P(A1)·P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)＝，
P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝.
故X的分布列为：
X
2
3
4
5
P
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E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝.
二、填空题
7．(2017·江苏高考)记函数f(x)＝的定义域为D.在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．
解析：由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，则D＝[－2,3]，则所求概率P＝＝.
答案：
8.某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数，日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．从该车间6名工人中，任取2人，则至少有1名优秀工人的概率为________．
解析：由茎叶图可知6名工人加工零件数分别为17,19,20,21,25,30，平均值为×(17＋19＋20＋21＋25＋30)＝22，则优秀工人有2名，从该车间6名工人中，任取2人共有C＝15种取法，其中至少有1名优秀工人的共有CC＋C＝9种取法，由概率公式可得P＝＝.
答案：
9．某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射满3次为止．设甲每次击中的概率为p(p≠0)，射击次数为η，若η的均值E(η)>，则p的取值范围是________．
解析：由已知得P(η＝1)＝p，P(η＝2)＝(1－p)p，P(η＝3)＝(1－p)2，
则E(η)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>，
解得p>或p
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