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专题检测（五） 空间几何体的三视图、表面积与体积
一、选择题
1．如图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是( )
解析：选D 先观察俯视图，由俯视图可知选项B和D中的一个正确，由正视图和侧视图可知选项D正确．
2．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是( )
A．2 B．
C. D．3
解析：选D 由三视图判断该几何体为四棱锥，且底面为梯形，高为x，故该几何体的体积V＝××(1＋2)×2×x＝3，解得x＝3.
3．(2017·广州综合测试)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是( )
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解析：选D 由题意可得该几何体可能为四棱锥，如图所示，其高为2，其底面为正方形，面积为2×2＝4，因为该几何体的体积为×4×2＝，满足条件，所以俯视图可以为一个直角三角形．选D.
4．(2017·新疆第二次适应性检测)球的体积为4π，平面α截球O的球面所得圆的半径为1，则球心O到平面α的距离为( )
A．1 B.
C. D.
解析：选B 依题意，设该球的半径为R，则有R3＝4π，由此解得R＝，因此球心O到平面α的距离d＝＝.
5．(2018届高三·湖南十校联考)如图，小方格是边长为1的正方形，一个几何体的三视图如图所示，则几何体的表面积为( )
A．4π＋96
B．(2＋6)π＋96
C．(4＋4)π＋64
D．(4＋4)π＋96
解析：选D 几何体为一个圆锥和一个正方体的组合体，正方体的棱长为4，圆锥的高为4，底面半径为2，几何体的表面积为S＝6×42＋π×22＋π×2×＝(4＋4)π＋96.
6．(2018届高三·西安八校联考)某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 依题意得，题中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形，设其直角边长为a，则斜边长为a，圆锥的底面半径为a、母线长为a，因此其俯视图中椭圆的长轴长为a、短轴长为a，其离心率e＝＝.
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7．在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，P在线段BD1上，且＝，M为线段B1C1上的动点，则三棱锥MPBC的体积为( )
A．1 B．
C. D．与M点的位置有关
解析：选B ∵＝，∴点P到平面BC1的距离是D1到平面BC1距离的，即为＝1.M为线段B1C1上的点，∴S△MBC＝×3×3＝，∴VMPBC＝VPMBC＝××1＝.
8．(2017·贵州适应性考试)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是线段A1C1上的动点，则三棱锥PBCD 的俯视图与正视图面积之比的最大值为( )
A．1 B．
C． D．2
解析：选D 正视图，底面B，C，D三点，其中D与C重合，随着点P的变化，其正视图均是三角形且点P在正视图中的位置在边B1C1上移动，由此可知，设正方体的棱长为a，则S正视图＝a2；设A1C1的中点为O，随着点P的移动，在俯视图中，易知当点P在OC1上移动时，S俯视图就是底面三角形BCD的面积，当点P在OA1上移动时，点P越靠近A1，俯视图的面积越大，当到达A1的位置时，俯视图为正方形，此时俯视图的面积最大，S俯视图＝a2，所以的最大值为＝2.
9．(2017·石家庄一模)祖暅是南北朝时期的伟大数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为( )
A．①② B．①③
C．②④ D．①④
解析：选D 设截面与底面的距离为h，则①中截面内圆的半径为h，则截面圆环的面积为π(R2－h2)；②中截面圆的半径为R－h，则截面圆的面积为π(R－h)2；③
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中截面圆的半径为R－，则截面圆的面积为π2；④中截面圆的半径为，则截面圆的面积为π(R2－h2)．所以①④中截面的面积相等，故其体积相等，选D.
10．等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，将△ABC沿BC边上的高AD折成直二面角BADC，则三棱锥BACD的外接球的表面积为( )
A．5π B．π
C．10π D．34π
解析：选D 依题意，在三棱锥BACD中，AD，BD，CD两两垂直，且AD＝4，BD＝CD＝3，因此可将三棱锥BACD补形成一个长方体，该长方体的长、宽、高分别为3,3,4，且其外接球的直径2R＝＝，故三棱锥BACD的外接球的表面积为4πR2＝34π.
11．(2017·郑州第二次质量预测)将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱的最大体积为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 如图所示，设圆柱的半径为r，高为x，体积为V，由题意可得＝，所以x＝2－2r，所以圆柱的体积V＝πr2(2－2r)＝2π(r2－r3)(0
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