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专题检测（三） 平面向量
一、选择题
1．设a＝(1,2)，b＝(1,1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于( )
A．－ B．－
C． D．
解析：选A 因为c＝a＋kb＝(1＋k,2＋k)，又b⊥c，所以1×(1＋k)＋1×(2＋k)＝0，解得k＝－.
2．(2017·贵州适应性考试)已知向量a＝(2,4)，b＝(－1，1)，c＝(2,3)，若a＋λb与c共线，则实数λ＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B 法一：a＋λb＝(2－λ，4＋λ)，c＝(2,3)，因为a＋λb与c共线，所以必定存在唯一实数μ，使得a＋λb＝μc，所以解得
法二：a＋λb＝(2－λ，4＋λ)，c＝(2,3)，由a＋λb与c共线可知＝，解得λ＝－.
3．(2018届高三·云南11校跨区调研)已知平面向量a与b的夹角为45°，a＝(1,1)，|b|＝2，则|3a＋b|等于( )
A．13＋6 B．2
C. D．
解析：选D 依题意得a2＝2，a·b＝×2×cos 45°＝2，|3a＋b|＝＝＝＝.
4．在等腰梯形ABCD中，＝－2，M为BC的中点，则＝( )
A.＋ B.＋
C.＋ D.＋
解析：选B 因为＝－2，所以＝2.又M是BC的中点，所以＝(
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＋)＝(＋＋)＝＝＋.
5．(2017·成都二诊)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝1，|b|＝，则a＋2b与b的夹角是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 法一：因为|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝1＋1＋4×1××cos ＝3，所以|a＋2b|＝，
又(a＋2b)·b＝a·b＋2|b|2
＝1××cos ＋2×＝＋＝，
所以cos〈a＋2b，b〉＝＝＝，
所以a＋2b与b的夹角为.
法二：(特例法)设a＝(1,0)，b＝＝，则(a＋2b)·b＝·＝，|a＋2b|＝ ＝，所以cos〈a＋2b，b〉＝＝＝，所以a＋2b与b的夹角为.
6．已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为( )
A. B．
C．－ D．－
解析：选A 由题意知＝(2,1)，＝(5,5)，
则在方向上的投影为||·cos〈，〉＝＝.
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7．(2017·安徽二校联考)在边长为1的正三角形ABC中，D，E是边BC的两个三等分点(D靠近点B)，则·等于( )
A. B.
C. D.
解析：选C 法一：因为D，E是边BC的两个三等分点，所以BD＝DE＝CE＝，
在△ABD中，
AD2＝BD2＋AB2－2BD·AB·cos 60°
＝2＋12－2××1×＝，
即AD＝，同理可得AE＝，
在△ADE中，由余弦定理得
cos∠DAE＝
＝＝，
所以·＝||·||cos∠DAE
＝××＝.
法二：如图，建立平面直角坐标系，由正三角形的性质易得A，D，E，所以＝，＝，所以·＝·＝－＋＝.
8．(2017·东北四市模拟)已知向量＝(3,1)，＝(－1,3)，＝m－n (m>0，n>0)，若m＋n＝1，则||的最小值为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由＝(3,1)，＝(－1,3)，得＝m－n＝(3m＋n，m－3n)，因为m＋n＝1(m>0，n>0)，
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所以n＝1－m且0
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