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专题检测（二十一） 选择题第12题、填空题第16题专练
一、选择题
1．设a1，a2，a3，…，an∈R，n≥3.若p：a1，a2，a3，…，an成等比数列；q：(a＋a＋…＋a)(a＋a＋…＋a)＝(a1a2＋a2a3＋…＋an－1an)2，则( )
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
解析：选A (特殊数列)取大家最熟悉的等比数列an＝2n，代入q命题(不妨取n＝3)满足，再取an＝3n代入q命题(不妨取n＝3)也满足，反之取a1＝a2＝a3＝…＝an＝0时，满足q命题，但不满足p命题，故p是q的充分条件，但不是q的必要条件．
2．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝( )
A．－ B．
C． D．1
解析：选C 法一：由f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)，得f(2－x)＝(2－x)2－2(2－x)＋a[e2－x－1＋e－(2－x)＋1]＝x2－4x＋4－4＋2x＋a(e1－x＋ex－1)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)，所以f(2－x)＝f(x)，即x＝1为f(x)图象的对称轴．由题意，f(x)有唯一零点，所以f(x)的零点只能为x＝1，即f(1)＝12－2×1＋a(e1－1＋e－1＋1)＝0，解得a＝.
法二：由f(x)＝0⇔a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x.
ex－1＋e－x＋1≥2＝2，当且仅当x＝1时取“＝”．
－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，当且仅当x＝1时取“＝”．
若a>0，则a(ex－1＋e－x＋1)≥2a，
要使f(x)有唯一零点，则必有2a＝1，即a＝.
若a≤0，则f(x)的零点不唯一．
综上所述，a＝.
3．已知函数f(x)在(－1，＋∞)上单调，且函数y＝f(x－2)的图象关于直线x＝1对称，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f(a50)＝f(a51)，则数列{an}的前100项的和为( )
A．－200 B．－100
C．0 D．－50
解析：选B 因为函数y＝f(x－2)的图象关于直线x＝1对称，则函数f(x
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)的图象关于直线x＝－1对称．又函数f(x)在(－1，＋∞)上单调，数列{an}是公差不为0的等差数列，且f(a50)＝f(a51)，所以a50＋a51＝－2，所以S100＝＝50(a50＋a51)＝－100.
4．(2017·贵州适应性考试)已知点A是抛物线x2＝4y的对称轴与准线的交点，点F为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|＝m|PF|，当m取最大值时，|PA|的值为( )
A．1 B．
C. D．2
解析：选D 设P(x，y)，由抛物线的定义知|PF|＝y＋1，|PA|＝，所以m＝，平方得m2＝，又x2＝4y，当y＝0时，m＝1，当y≠0时，m2＝＝＋1＝1＋，由基本不等式可知y＋≥2，当且仅当y＝1时取等号，此时m取得最大值，故|PA|＝＝2.
5．对任意实数a，b，c，d，定义＝
已知函数f(x)＝，直线l：kx－y＋3－2k＝0，若直线l与函数f(x)的图象有两个交点，则实数k的取值范围是( )
A.∪ B.
C.∪ D．(－1,1)
解析：选A 由题意知，
f(x)＝＝
直线l：y＝k(x－2)＋3过定点A(2，3)，画出函数f(x)的图象，如图所示，其中f(x)＝(x≤－2或x≥2)的图象为双曲线的上半部分，f(x)＝ (－2
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