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专题检测（二十四） 临界知识问题
一、选择题
1．对2×2数表定义平方运算，规则是：2＝＝，则2的值是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 2＝＝＝.
2．点P(－3,1)在椭圆＋＝1(a>b>0)的左准线上，过点P且方向为a＝(2，－5)的光线，经直线y＝－2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 作出示意图，如图所示．
由题意，kPA＝－.
∴lPA：5x＋2y＋13＝0，
则交点A的坐标为，据光的反射知识知kAF＝－kPA＝.
∴lAF：5x－2y＋5＝0.
∴直线AF与x轴交点即左焦点F(－1,0)，即c＝1.
又左准线x＝－＝－a2＝－3，
∴a＝.∴e＝＝.故选A.
3．记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min{x1，x2，…，xn}．已知△ABC的三边长为a，b，c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度为l＝max·min，则“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
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解析：选A 若△ABC为等边三角形时，即a＝b＝c，
则max＝1＝min，则l＝1；
若△ABC为等腰三角形，如a＝2，b＝2，c＝3时，
则max＝，min＝，此时l＝1仍成立，但△ABC不为等边三角形，故“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的必要不充分条件．
4．对于定义域为R的函数f(x)，若f(x)在区间(－∞，0)和区间(0，＋∞)上均有零点，则称函数f(x)为“含界点函数”，则下列四个函数中，不是“含界点函数”的是( )
A．f(x)＝x2＋bx－1(b∈R)
B．f(x)＝2－|x－1|
C．f(x)＝2x－x2
D．f(x)＝x－sin x
解析：选D 对于A，因为f(x)＝x2＋bx－1(b∈R)的零点即为方程x2＋bx－1＝0的根，所以Δ＝b2＋4＞0，且方程x2＋bx－1＝0有一正根一负根，故函数f(x)＝x2＋bx－1(b∈R)是“含界点函数”；
对于B，令f(x)＝2－|x－1|＝0，得x＝3或x＝－1，故f(x)＝2－|x－1|在区间(－∞，0)和区间(0，＋∞)上均有零点，即f(x)为“含界点函数”；
对于C，作出y＝x2和y＝2x的图象(图略)，可知f(x)＝2x－x2在区间(－∞，0)和区间(0，＋∞)上均有零点，故f(x)＝2x－x2是“含界点函数”；
对于D，因为f(x)＝x－sin x在R上是增函数，且f(0)＝0，故f(x)＝x－sin x不是“含界点函数”．
5．设无穷数列{an}，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε(无论多小)，总存在正整数N，使得n>N时，恒有|an－A|1，所以对于任意给定的正数ε(无论多小)，不存在正整数N，使得n>N时，恒有|an－2|N时，恒有|an－2|1，所以对于任意给定的正数ε(无论多小)，不存在正整数N，使得n>N时，恒有|an－2|100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( )
A．440 B．330
C．220 D．110
解析：选A 设第一项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n组的项数为n，前n组的项数和为.
由题意可知，N>100，令>100，
得n≥14，n∈N*，即N出现在第13组之后．
易得第n组的所有项的和为＝2n－1，前n组的所有项的和为－n＝2n＋1－n
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－2.
设满足条件的N在第k＋1(k∈N*，k≥13)组，且第N项为第k＋1组的第t(t∈N*)个数，
若要使前N项和为2的整数幂，则第k＋1组的前t项的和2t－1应与－2－k互为相反数，
即2t－1＝k＋2，∴2t＝k＋3，∴t＝log2(k＋3)，
∴当t＝4，k＝13时，N＝＋4＝955时，N>440，故选A.
二、填空题
7．已知F1，F2为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，M是椭圆上与F1，F2不共线的任意一点，I是△MF1F2的内心，延长MI交F1F2于点N，则＝________.
解析：因为I是△MF1F2的内心，
所以MN是∠F1MF2的角平分线，
所以＝.
所以＝，
所以＝，所以＝.
又因为IF2为∠NF2M的角平分线，
所以＝＝.
答案：
8．设集合A＝和B＝{x|log2(x2－[x])＝2}，其中符号[x]表示不大于x的最大整数，则A∩B＝________.
解析：因为＜8x＜2 017，[x]的值可取－3，－2，－1，0,1,2,3.
当[x]＝－3，则x2＝1，无解；
当[x]＝－2，则x2＝2，解得x＝－；
当[x]＝－1，则x2＝3，无解；
当[x]＝0，则x2＝4，无解．
当[x]＝1，则x2＝5，无解；
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当[x]＝2，则x2＝6，解得x＝；
当[x]＝3，则x2＝7，无解．
综上A∩B＝{－，}．
答案：{－，}
9．对于函数f(x)，若存在区间A＝[m，n]，使得{y|y＝f(x)，x∈A}＝A，则称函数f(x)为“可等域函数”，区间A为函数f(x)的一个“可等域区间”．给出下列4个函数：
①f(x)＝sin；②f(x)＝2x2－1；③f(x)＝|1－2x|；④f(x)＝log2(2x－2)．
其中的“可等域函数”为________(填序号)．
解析：根据题意，①中，[－1,0]与[0,1]及[－1,1]都是f(x)的“可等域区间”，满足；②中，f(x)＝2x2－1在[－1，1]的值域为[－1,1]，满足；③中，f(x)＝|1－2x|与y＝x的交点为(0,0)，(1,1)，其“可等域区间”为[0,1]，满足；④中，f(x)＝log2(2x－2)与y＝x无交点，不满足．故“可等域函数”为①②③.
答案：①②③
三、解答题
10．若函数y＝sin x在(0，π)上是上凸函数，那么在△ABC中，求sin A＋sin B＋sin C的最大值．
解：因为y＝sin x在(0，π)上是上凸函数，则
(sin A＋sin B＋sin C)≤sin＝sin 60°＝，即sin A＋sin B＋sin C≤，
当且仅当sin A＝sin B＝sin C时，即A＝B＝C＝时，取等号．
11.如图，侧棱垂直于底面的三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC位于平行四边形ACDE中，AE＝2，AC＝AA1＝4，∠E＝60°，点B在线段ED上．
(1)当点B在何处时，平面A1BC⊥平面A1ABB1；
(2)点B在线段ED上运动的过程中，求三棱柱ABCA1B1C1表面积的最小值．
解：(1)由于三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，
则AA1⊥平面ABC，
因为BC⊂平面ABC，
所以AA1⊥BC.
而AA1∩AB＝A，只需BC⊥平面A1ABB1，即AB⊥BC，就有“平面A1BC⊥平面A1ABB1”．
在平行四边形ACDE中，
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因为AE＝2，AC＝AA1＝4，
∠E＝60°.
过B作BH⊥AC于H，
则BH＝.
若AB⊥BC，有BH2＝AH·CH.
由AC＝4，得AH＝1或3.
两种情况下，B为ED的中点或与点D重合．
(2)三棱柱ABCA1B1C1表面积等于侧面积与两个底面积之和．
显然三棱柱ABCA1B1C1其底面积和平面A1ACC1的面积为定值，只需保证侧面A1ABB1和侧面B1BCC1面积之和最小即可．
过点B作BH⊥AC于H，则BH＝.
令AH＝x，则侧面A1ABB1和侧面B1BCC1面积之和等于4(AB＋BC)＝4[＋]．
其中＋可以表示动点(x,0)到定点(0，－)和(4，)的距离之和，当且仅当x＝2时取得最小值．所以三棱柱的表面积的最小值为2×＋42＋4×2＝4＋8＋16.
12．已知不等式＋＋…＋>[log2n]，其中n为大于2的整数，[log2n]表示不超过log2n的最大整数．设数列{an}的各项为正，且满足a1＝b(b>0)，an≤，n≥2，n∈N*.
(1)证明anN时，对任意b>0，都有an＋[log2n]＝.
所以an
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