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专题检测（十七） 圆锥曲线的方程与性质
一、选择题
1．(2016·全国卷Ⅰ)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( )
A．(－1,3) B．(－1，)
C．(0,3) D．(0，)
解析：选A 由题意得(m2＋n)(3m2－n)>0，解得－m20)的直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，O为坐标原点，M是线段AB的中点，F为C的焦点，△OFM的面积等于2，则k＝( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由抛物线方程y2＝4x可知焦点F(1,0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
∵M为线段AB的中点，∴
将y＝4x1，y＝4x2两式相减可得y－y＝4(x1－x2)⇒(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)⇒＝，
即k＝.
∵k>0，∴y0>0，
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∴S△OFM＝×1×y0＝2，解得y0＝4，
∴k＝＝.
二、填空题
7．已知焦点为F的抛物线y2＝2px(p>0)上一点A(m，2)，若以A为圆心，|AF|为半径的圆A被y轴截得的弦长为2，则m＝________.
解析：因为圆A被y轴截得的弦长为2，
所以 ＝|AF|＝m＋. ①
又A(m,2)在抛物线上，
所以8＝2pm. ②
由①与②可得p＝2，m＝2.
答案：2
8．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知
|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，|OF|＝，
由|AF|＋|BF|＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋p＝4|OF|＝2p，得y1＋y2＝p.
联立消去x，得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，
所以y1＋y2＝，所以＝p，
即＝，故＝，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
答案：y＝±x
9．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，P是双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为[2,4]，则·的最小值的取值范围是________．
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解析：设P(m，n)，则－＝1，即m2＝a2.
又F1(－1,0)，F2(1,0)，
则＝(－1－m，－n)，＝(1－m，－n)，
·＝n2＋m2－1＝n2＋a2－1
＝n2＋a2－1≥a2－1，当且仅当n＝0时取等号，
所以·的最小值为a2－1.
由2≤≤4，得≤a≤，
故－≤a2－1≤－，
即·的最小值的取值范围是.
答案：
三、解答题
10．(2017·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝ .
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线x＝－3上，且·＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
解：(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，
则N(x0,0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)．
由＝ ，得x0＝x，y0＝y.
因为M(x0，y0)在椭圆C上，所以＋＝1.
因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.
(2)证明：由题意知F(－1,0)．设Q(－3，t)，P(m，n)，
则＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，
·＝3＋3m－tn，
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＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)．
由·＝1，得－3m－m2＋tn－n2＝1，
又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.
所以·＝0，即⊥.
又过点P存在唯一直线垂直于OQ，
所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
11．(2017·西安质检)已知椭圆与抛物线y2＝4x有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点P(0,1)的直线与该椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若＝2，求△AOB的面积．
解：(1)依题意，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意可得c＝，又e＝＝，∴a＝2.
∴b2＝a2－c2＝2，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由＝2，得
设直线AB的方程为y＝kx＋1，代入椭圆方程整理，得
(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0，
∴x1＋x2＝－，x1·x2＝－.
将x1＝－2x2代入上式整理可得，2＝，
解得k2＝.
∴△AOB的面积S＝|OP|·|x1－x2|
＝＝·＝.
12．(2017·成都一诊)已知椭圆＋＝1的右焦点为F，设直线l：x＝5与x轴的交点为E
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，过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．
(1)若直线l1的倾斜角为，求△ABM的面积S的值；
(2)过点B作直线BN⊥l于点N，证明：A，M，N三点共线．
解：(1)由题意，知F(1,0)，E(5,0)，M(3,0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵直线l1的倾斜角为，∴k＝1.
∴直线l1的方程为y＝x－1，即x＝y＋1.
代入椭圆方程消去x，可得9y2＋8y－16＝0.
∴y1＋y2＝－，y1y2＝－.
∴S△ABM＝·|FM|·|y1－y2|＝
＝ ＝.
(2)证明：设直线l1的方程为y＝k(x－1)．
代入椭圆方程消去y，得(4＋5k2)x2－10k2x＋5k2－20＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
∵直线BN⊥l于点N，∴N(5，y2)．
∴kAM＝，kMN＝.
而y2(3－x1)－2(－y1)
＝k(x2－1)(3－x1)＋2k(x1－1)
＝－k[x1x2－3(x1＋x2)＋5]
＝－k
＝0，
∴kAM＝kMN，故A，M，N三点共线．
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