1.6 完全平方公式
知识要点基础练
知识点1 完全平方公式
1.(2x-1)2等于(A)
A.4x2-4x+1 B.2x2-2x+1
C.2x2-1 D.2x2+1
2.下列运算结果是x4y2-2x2y+1的是(C)
A.(-1+x2y2)2 B.(1+x2y2)2
C.(-1+x2y)2 D.(-1-x2y)2
3.已知x2+4mx+16是完全平方式,则m的值为(C)
A.2 B.4 C.±2 D.±4
4.如果x2+kxy+9y2恰好是一个整式的平方,那么常数k的值是(D)
A.18 B.6 C.±18 D.±6
5.先化简,再求值:2b2+(a+b)(a-b)-(a-b)2,其中a=-3,b=12.
解:原式=2b2+a2-b2-a2+2ab-b2=2ab.
当a=-3,b=12时,原式=2×(-3)×12=-3.
知识点2 完全平方公式的变形应用
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6.若a,b是正数,a-b=1,ab=2,则a+b=(B)
A.-3 B.3
C.±3 D.9
7.已知xy=10,(x-2y)2=1,则(x+2y)2的值为(C)
A.21 B.9
C.81 D.41
8.已知x+y=5,xy=4,求下列各式的值:
(1)(x+y)2;
解:(x+y)2=52=25.
(2)x2+y2;
解:x2+y2=(x+y)2-2xy=25-2×4=17.
(3)(x-y)2.
解:(x-y)2=(x+y)2-4xy=25-4×4=9.
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综合能力提升练
9.(河北中考)将9.52变形正确的是(C)
A.9.52=92+0.52
B.9.52=(10+0.5)×(10-0.5)
C.9.52=102-2×10×0.5+0.52
D.9.52=92+9×0.5+0.52
10.若等式x2+ax+19=(x-5)2-b成立,则a+b的值为(D)
A.16 B.-16 C.4 D.-4
11.若(x+y)2=9,(x-y)2=5,则xy的值为(B)
A.-1 B.1 C.-4 D.4
12.(乐山中考)已知实数a,b满足a+b=2,ab=34,则a-b=(C)
A.1 B.-52 C.±1 D.±52
13.若a+b=6,a2+b2=28,则ab的值为(C)
A.11 B.-22 C.4 D.不存在
14.如图是由两个完全相同的长方形和两个小正方形拼成的一个大的正方形,用两种不同的方法表示这个大正方形的面积,则可以得出一个等式为(A)
A.(a+b)2=a2+2ab+b2
B.(a-b)2=a2-2ab+b2
C.a2-b2=(a+b)(a-b)
D.(a+b)2=(a-b)2+4ab
15.若正数m,n满足(x+m)2=x2+nx+36,则m= 6 ,n= 12 .
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16.计算:
(1)(2a+1)2-(1-2a)2;
解:原式=(4a2+4a+1)-(1-4a+4a2)
=4a2+4a+1-1+4a-4a2=8a.
(2)(a+1)2(a-1)2(a2+1)2.
解:原式=[(a+1)(a-1)]2(a2+1)2
=[(a2-1)(a2+1)]2
=(a4-1)2.
17.先化简,再求值:a(a-2b)+2(a+b)(a-b)+(a+b)2,其中a=-12,b=1.
解:原式=a2-2ab+2a2-2b2+a2+2ab+b2
=4a2-b2.
当a=-12,b=1时,原式=0.
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18.观察下列关于自然数的等式:
32-4×12=5;①
52-4×22=9;②
72-4×32=13;③
…
根据上述规律解决下列问题:
(1)完成第四个等式:92-4× 4 2= 17 ;
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示),并验证其正确性.
解:(2)第n个等式为(2n+1)2-4n2=2(2n+1)-1.左边=(2n+1)2-4n2=4n2+4n+1-4n2=4n+1,右边=2(2n+1)-1=4n+2-1=4n+1,左边=右边,
则(2n+1)2-4n2=2(2n+1)-1.
拓展探究突破练
19.图1是一个长为2a、宽为2b的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形,然后按图2形状拼成一个正方形.
(1)你认为图2中阴影部分正方形的边长等于多少?
(2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积.
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(3)观察图2,你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗?
代数式:(a+b)2,(a-b)2,ab.
(4)根据(3)中的等量关系,解决如下问题:若m+n=8,mn=12,求(m-n)2的值.
解:(1)观察图形可得到图2中阴影部分正方形的边长为(a-b).
(2)从正方形的面积等于边长平方的角度考虑,阴影部分的面积可表示为(a-b)2;从阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小长方形的面积的角度考虑,阴影部分的面积可表示为(a+b)2-4ab.
(3)(a-b)2=(a+b)2-4ab或(a+b)2=(a-b)2+4ab或4ab=(a+b)2-(a-b)2.
(4)根据(a-b)2=(a+b)2-4ab,
可得(m-n)2=(m+n)2-4mn=82-4×12=16.
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